Mostrar código-fonte de Lógica Matemática/Cálculo Proposicional

'''[[w:Cálculo proposicional|Cálculo proposicional]]''' é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional . 

== [[w:Proposição|Proposição]] ==
Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).

Como exemplo de  proposições temos:

*A terra é redonda.

*O dado é quadrado.

As proposições, de acordo com a lógica clássica, devem observar os seguintes princípios (entre outros):

*'''Príncipio da não-contradição''': uma proposição não pode ser Verdadeira ou Falsa ao mesmo tempo.
*'''Príncipio do terceiro excluído''': uma proposição deve obrigatoriamente ser Verdadeira ou Falsa, mas não ter uma terceira possibilidade.

== Símbolos ==
=== Variáveis proposicionais ===
Dentro da lógica proposicional cada proposição é considerado um elemento simples (átomo), representado com uma letra minúscula a partir do '''p'''. (Por exemplo, ''p'', ''q'' e outros).

=== Conectivos lógicos ===
As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.

<center>
{| class="wikitable" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="text-align:center"
|-
! style="background:#efefef;" | Valor lógico !! style="background:#efefef;"  | Símbolo !! style="background:#efefef;" | Expressão !! style="background:#efefef;" | Observação  
|-
! Negação
| <math>\not</math> , ¬ , ~ ou '||não, é falso, não é verdade que||inverte o valor da proposição
|-
! Conjunção 
| <math>\land</math>  || e, mas , também, além disso|| nenhuma  
|-
! Disjunção
| <math>\lor</math> || ou ||não confundir com o ''ou'' exclusivo 
|-
!Condicional
| <math> \to </math> || se...então, implica, logo, somente se || nenhuma 
|-
!Bi-condicional
| <math> \leftrightarrow</math> || ...se, e somente se...; ...é condição necessária que ... ||nenhuma
|}
</center>

Uma cadeia que forma uma expressão válida (isto é, que ofereça um valor F ou V de retorno) é chamada de '''fórmula bem-formulada''' (fbf).

== Tabelas-verdades ==
Tabelas-verdades são matrizes de V ou F que uma proposição assume de acordo com o conectivo lógico associado a ele. Utilizaremos a letra ''p'' para representar o uso de conectivos sobre apenas uma proposição, e ''p'' e ''q'' quando o conectivo age sobre duas proposições.


=== Conjunção ===
<center>
{| class="wikitable" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center"
|-
! | p || q || p <math>\land</math>q
|-
|V ||V||V
|-
|V||F||F
|-
|F ||V||F
|-
|F ||F|| F
|}
</center>

=== Disjunção ===
<center>
{| class="wikitable" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center"
|-
! | p || q || p <math>\lor</math>q
|-
|V ||V||v
|-
|V||F||V
|-
|F ||V||V
|-
|F ||F|| F
|}
</center>

=== Condicional ===
<center>
{| class="wikitable" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center"
|-
! | p || q || p <math>\rightarrow</math>q
|-
|V ||V||V
|-
|V||F||F
|-
|F ||V||V
|-
|F||F|| V
|}
</center>

=== Bi-condicional ===
<center>
{| class="wikitable" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center"
|-
! | p || q || p <math>\leftrightarrow</math>q
|-
|V ||V||V
|-
|V||F||F
|-
|F ||V||F
|-
|F||F|| V
|}
</center>

=== Disjunção-exclusiva ===
<center>
{| class="wikitable" border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center"
|-
! | p || q || p <math>\lor</math>q
|-
|V ||V||F
|-
|V||F||V
|-
|F ||V||V
|-
|F ||F|| F
|}
</center>

== Proposições compostas ==
Uma proposição composta é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula. Ex: P: p<math>\land</math>q ou P (p,q):p,q. Para ''n'' proposições simples com possibilidades V e F, considera-se que a tabela-verdade que os combina terá <math>2^n</math> linhas.

;Tautologia
Tautologia é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Verdadeiras (V).

;Contradição
Contradição é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são Falsas (F).

;Contingência
Contingência é uma proposição composta onde os valores '''F''' e '''V''' aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.

== Implicação ==
Uma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira. Ou seja, dadas duas proposições P e Q, P implica Q todas as vezes que ambos os lados aparecerem Ve.

<center>
{| class="wikitable" border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align:center"
|-
! style="background:#efefef;" | p !! style="background:#efefef;"  | q !! style="background:#efefef;" |(P) p<math>\land</math>q !! style="background:#efefef;" |(Q)p<math>\lor</math>q !! style="background:#efefef;" |(R) p<math>\leftrightarrow</math>q 
|-
| V || V||V ||V||V
|-
|V ||F||F||V||F
|-
|F||V ||F||V||F
|-
|F||F||F||F||V
|}
</center>

== Equivalência lógica ==
Uma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas. A equivalência lógica é representada por (<math>\Longleftrightarrow</math>)...,,

== Resumo ==
*Cálculo proposicional é um sistema da lógica matemática que representa os príncipios e operações da lógica proposicional .
*Proposição é uma sentença declarativa afirmativa que pode assumir um valor de Verdadeiro (V) ou Falso (F).Uma proposição não pode ser '''Verdadeira''' ou '''Falsa''' ao mesmo tempo e uma proposição deve obrigatoriamente ser '''Verdadeira''' ou '''Falsa''', mas não ter uma terceira possibilidade. 
*As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si utilizando-se os conectivos lógicos. Utilizam-se os parênteses para delimitar o alcance de cada conectivo.
*Uma '''Proposição Composta''' é um conjunto de proposições simples com seus conectivos, representada por uma letra maiúscula. 
*'''Tautologia''' é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são '''V'''.
*'''Contradição''' é uma proposição composta onde todas as suas combinações finais são '''F'''.
*'''Contingência''' é uma proposição composta onde os valores '''F''' e '''V''' aparecem pelo menos uma vez nas combinações finais.
*Uma proposição implica logicamente outra quando, e somente quando, para cada atribuição de valores verdade que torna uma proposição verdadeira, também tornam sua implicação verdadeira. 
*Uma proposição composta é logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdades são idênticas.

==Bibliografia==
* Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), ''Internet Encyclopedia of Philosophy'', [http://www.iep.utm.edu/p/prop-log.htm Eprint].
* [http://www.ltn.lv/~podnieks/mlog/ml2.htm Introduction to Mathematical Logic]
* [http://www.visualstatistics.net/Scaling/Propositional%20Calculus/Elements%20of%20Propositional%20Calculus.htm Elements of Propositional Calculus]

* ''[http://www.fecundity.com/logic/ forall x: an introduction to formal logic]'', por P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.

* [[Lógica: Cálculo Proposicional Clássico]]

[[Categoria:Lógica Matemática|{{SUBPAGENAME}}]]