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<p align="center"><BIG>'''Exercícios resolvidos de Cálculo'''</BIG></p>


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<BIG>Edwin. E. Moise. Cálculo, um curso universitário. Volume I.</BIG>

<BIG>Editora Edgard Blücher, Editora da Universidade de São Paulo.</BIG>

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<BIG>'''PROBLEMAS 1.3'''</BIG>


<BIG>'''Resolva as seguintes desigualdades, escrevendo uma cadeia de desigualdades e dando, à direita, a razão de cada passagem, como no texto.'''</BIG>


<BIG>'''1.  5 - 3x > 17 + x'''</BIG>


<BIG>'''2.  5x - 3 < 17x + 1'''</BIG>


<BIG>'''3.  -3x - 7 < x + 5'''</BIG>


<BIG>'''4.  -4x - 8 < 2x + 6'''</BIG>


<BIG>'''5.  6x - 10 > 5x + 3'''</BIG>


<BIG>'''6.  3 - 2x < 4 - 3x'''</BIG>


<BIG>'''1.'''</BIG>

<BIG>5 - 3x > 17 + x <math>\Leftrightarrow</math> 5 > 17 + 4x  (por LAO, adicionando 3x a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>5 > 17 + 4x <math>\Leftrightarrow</math> -12 > 4x  (por LAO, adicionando -17 a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>-12 > 4x <math>\Leftrightarrow</math> -3 > x  (por LMO, multiplicando ambos os membros da desigualdade por 1/4)</BIG>

<BIG>-3 > x <math>\Leftrightarrow</math> x < -3  (por definição de >)</BIG>


<BIG>'''2.'''</BIG>

<BIG>5x - 3 < 17x + 1 <math>\Leftrightarrow</math> -12x - 3 > 1  (por LAO, adicionando -17x a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>-12x - 3 > 1 <math>\Leftrightarrow</math> -12x > 4  (por LAO, adicionando 3 a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>-12x > 4 <math>\Leftrightarrow</math> x < -1/3  (por IO, multiplicando ambos os membros da desigualdade por -1/12)</BIG>


<BIG>'''3.'''</BIG>

<BIG>-3x - 7 < x + 5 <math>\Leftrightarrow</math> -7 > 4x + 5  (por LAO, adicionando 3x a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>-7 > 4x + 5 <math>\Leftrightarrow</math> -12 > 4x  (por LAO, adicionando -5 a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>-12 > 4x <math>\Leftrightarrow</math> -3 > x  (por LMO, multiplicando ambos os membros da desigualdade por 1/4)</BIG>

<BIG>-3 > x <math>\Leftrightarrow</math> x < -3  (por definição de >)</BIG>


<BIG>'''4.'''</BIG>

<BIG>-4x - 8 < 2x + 6 <math>\Leftrightarrow</math> -6x - 8 < 6  (por LAO, adicionando -2x a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>-6x - 8 < 6 <math>\Leftrightarrow</math> -6x < 14  (por LAO, adicionando 8 a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>-6x < 14 <math>\Leftrightarrow</math> x > -7/3  (por IO, multiplicando ambos os membros da desigualdade por -1/6)</BIG>


<BIG>'''5.'''</BIG>

<BIG>6x - 10 > 5x + 3 <math>\Leftrightarrow</math> x - 10 > 3  (por LAO, adicionando -5x a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>x - 10 > 3 <math>\Leftrightarrow</math> x > 13  (por LAO, adicionando 10 a ambos os membros da desigualdade)</BIG>


<BIG>'''6.'''</BIG>

<BIG>3 - 2x < 4 - 3x <math>\Leftrightarrow</math> 3 + x > 4  (por LAO, adicionando 3x a ambos os membros da desigualdade)</BIG>

<BIG>3 + x > 4 <math>\Leftrightarrow</math> x > 1  (por LAO, adicionando -3 a ambos os membros da desigualdade)</BIG>


<BIG>'''7. Dê uma justificação para o enunciado ''a'' > 0 <math>\Rightarrow</math> 0 < ''a''.'''</BIG>

<BIG>Na realidade, ''a'' > 0 e 0 < ''a'' são equivalentes (''a'' > 0 <math>\Leftrightarrow</math> 0 < ''a''). Ora, é claro geometricamente que sempre que ''a'' estiver a direita de 0 na reta, 0 estará a sua esquerda.</BIG>


<BIG>'''8. Dê uma justificação para o enunciado 0 < ''a'' <math>\Rightarrow</math> -''a'' + 0 < -''a'' + ''a''.'''</BIG>

<BIG>Dada uma desigualdade x < y, AO garante que x + z < y + z, ou, como a adição é comutativa, z + x < z + y, qualquer que seja z. Assim, tomando x = 0, y = ''a'' e z = -''a'', temos o enunciado.</BIG>


<BIG>'''9. Demonstre o Teorema 1.'''</BIG>

<BIG>Teorema 1. Se ''a'' > 0, então -''a'' < 0.</BIG>

<BIG>Demonstração:</BIG>

<BIG>Seja ''a'' > 0. Por AO, ''a'' + (-''a'') > 0 + (-''a''), para todo -''a''. Pelo postulado da ''Existência de Opostos'', à esquerda, e pelo postulado do ''Existência do 0'', à direita, ''a'' + (-''a'') = 0 > 0 + (-''a'') = -''a'', e 0 > -''a'' <math>\Rightarrow</math> -''a'' < 0.</BIG>

<BIG>C.Q.D.</BIG>


<BIG>'''10. Justifique o enunciado ''a'' < 0 <math>\Rightarrow</math> -''a'' + ''a'' < -''a'' + 0.'''</BIG>

<BIG>Dado ''a'' < 0, por AO, ''a'' + (-''a'') < 0 + (-''a''). Mas, ''a'' + (-''a'') < 0 + (-''a'') <math>\Leftrightarrow</math> -''a'' + a < -''a'' + 0, pois a adição é comutativa.</BIG>


<BIG>'''11. Prove o Teorema 2.'''</BIG>

<BIG>Teorema 2. Se ''a'' < 0, então -''a'' > 0.</BIG>

<BIG>Demonstração:</BIG>

<BIG>Seja ''a'' < 0. Por AO, ''a'' + (-''a'') < 0 + (-''a''), para todo -''a''. Pelo postulado da ''Existência de Opostos'', à esquerda, e pelo postulado do ''Existência do 0'', à direita, ''a'' + (-''a'') = 0 < 0 + (-''a'') = -''a''. Por definição de >, 0 < -''a'' <math>\Rightarrow</math> -''a'' > 0.</BIG>

<BIG>C.Q.D.</BIG>


<BIG>'''12. Justifique o enunciado ''a'' < ''b'' <math>\Rightarrow</math> ''a'' + ''c'' < ''b'' + ''c''.'''</BIG>

<BIG>Se ''a'' < ''b'' vem, por AO, somando ''c'' a ambos os membros da desigualdade, que ''a'' + ''c'' < ''b'' + ''c''.</BIG>


<BIG>'''13. Idem para ''c'' < ''d'' <math>\Rightarrow</math> ''b'' + ''c'' < ''b'' + ''d''.'''</BIG>

<BIG>Novamente por AO, vem de ''c'' < ''d'' que ''c'' + ''b'' < ''d'' + ''b'', e, como a adição é comutativa, ''c'' + ''b'' = ''b'' + ''c'' < ''d'' + ''b'' = ''b'' + ''d''.</BIG>

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