Mostrar código-fonte de Progressão Aritmética

Uma '''progressão aritmética''' (abreviadamente, '''P. A.''') ou '''sequência aritmética''' é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante <math>r</math>. O número <math>r</math> é chamado de '''razão''' ou '''diferença comum''' da progressão aritmética.

Uma parte finita de uma progressão aritmética é chamada uma progressão aritmética finita ou apenas progressão aritmética. A soma de uma progressão aritmética finita é chamada uma série aritmética finita.

== Definição ==
Notamos que, de modo geral, uma sequência numérica <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_n)}} = (\ldots,~a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~\ldots,~a_{n-2},~a_{n-1},~a_n,~\ldots)</math> é uma P.A. quando definida recursivamente por:

<br />

<math>\qquad \ldots</math>

<math>\qquad a_2 = a_1 + r \quad \Rightarrow \quad r = a_2 - a_1</math>

<math>\qquad a_3 = a_2 + r \quad \Rightarrow \quad r = a_3 - a_2</math>

<math>\qquad a_4 = a_3 + r \quad \Rightarrow \quad r = a_4 - a_3</math>

<math>\qquad \ldots</math>

<math>\qquad a_{n-2} = a_{n-3} + r \quad \Rightarrow \quad r = a_{n-2} - a_{n-3}</math>

<math>\qquad a_{n-1} = a_{n-2} + r \quad \Rightarrow \quad r = a_{n-1} - a_{n-2}</math>

<math>\qquad a_n = a_{n-1} + r \quad \Rightarrow \quad r = a_n - a_{n-1}</math>

<math>\qquad \ldots</math>

<br />

Comparando, temos:

<br />

<math display="block">r = \ldots = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \ldots = a_{n-1} - a_{n-2} = a_n - a_{n-1} = \ldots</math>

<br />

onde

* <math>a_n</math> é o ''n''-ésino termo da sequência <math>(a_n)</math>
* <math>n</math> corresponde ao número de termos <math>-</math> até <math>a_n</math>
* o primeiro termo, <math>a_1</math> é um número dado
* o número <math>r</math> é chamado de razão da progressão aritmética

<br />

==== Exemplos ====
Alguns exemplos de progressões aritméticas:

* <math>\overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n)}} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math> é uma progressão aritmética em que o primeiro termo <math>a_1</math> é igual a <math>1</math> e a razão <math>r</math> é igual a <math>3</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n)}} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math> é uma P.A. em que <math>a_1 = -2</math> e <math>r = -2</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n)}} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math> é uma P.A. com <math>a_1 = 6</math> e <math>r = 0</math>

== Fórmulas para <math>a_n</math>, <math>a_{n - p}</math>, <math>a_{n + p}</math> ==

=== <math>a_n = a_m + (n - m) \cdot r</math> ===
O ''n''-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por <math>a_n</math>, pode ser obtido por meio da fórmula:

<br />

<math display="block">a_n = a_m + (n - m) \cdot r</math>

<br />

portanto uma sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_n)}}</math> também pode ser expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_n = a_m + (n - m) \cdot r)} = \underset{n~\in~Range}{(a_m + (n - m) \cdot r)}</math>

<br />

=== <math>a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r</math> ===
ou pela fórmula:

<br />

<math display="block">a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r</math>

<br />

de forma semelhante, uma sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_n)}}</math> também pode ser expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r)} = \underset{n~\in~Range}{(a_1 + (n - 1) \cdot r)}</math>

<br />

em que:

* <math>a_n</math> é o ''n''-ésimo termo da sequência <math>(a_n)</math>
* <math>n</math> é o número de termos <math>-</math> até <math>a_n</math>
* <math>a_1</math> é o primeiro termo
* <math>r</math> é a razão

<br />

==== Exemplos ====

* <math>\overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n)}} = \overset{m~=~1 \quad r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = a_m + (n - m) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = 1 + (n - 1) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = 1 + 3n - 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = 3n - 2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(3n - 2)} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n)}} = \overset{m~=~3 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = a_m + (n - m) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = a_3 + (n - 3) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = -6 + (n - 3) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = -6 - 2n + 6)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = -2n)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-2n)} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n)}} = \overset{m~=~5 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = a_m + (n - m) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_n = a_5 + (n - 5) \cdot 0)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(6)} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math>

<br />

=== <math>a_{n-p} = a_m + (n - m - p) \cdot r</math> ===
Outras fórmulas para P.A. são:

<br />

<math display="block">a_{n-p} = a_m + (n - m - p) \cdot r</math>

<br />

onde a sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_{n-p})}}</math> pode ser expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_{n-p} = a_m + (n - m - p) \cdot r)}</math>

<br />

==== Exemplos ====

* <math>\overset{p~=~1 \quad r~=~3}{\underset{n~=~2:1:\infty}{(a_{n-p})}} = \overset{m~=~2 \quad p~=~1 \quad r~=~3}{\underset{n~=~2:1:\infty}{(a_{n-p} = a_m + (n - m - p) \cdot r)}} = \underset{n~=~2:1:\infty}{(a_{n-1} = a_2 + (n - 2 - 1) \cdot 3)} = \underset{n~=~2:1:\infty}{(a_{n-1} = 4 + (n - 3) \cdot 3)} = \underset{n~=~2:1:\infty}{(a_{n-1} = 4 + 3n - 9)} = \underset{n~=~2:1:\infty}{(a_{n-1} = 3n - 5)} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{p~=~5 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~6:1:\infty}{(a_{n-p})}} = \overset{m~=~4 \quad p~=~5 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~6:1:\infty}{(a_{n-p} = a_m + (n - m - p) \cdot r)}} = \underset{n~=~6:1:\infty}{(a_{n-5} = a_4 + (n - 4 - 5) \cdot -2)} = \underset{n~=~6:1:\infty}{(a_{n-5} = -8 + (n - 9) \cdot -2)} = \underset{n~=~6:1:\infty}{(a_{n-5} = -8 - 2n + 18)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n-5} = -2n + 10)} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{p~=~6 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n-p})}} = \overset{m~=~9 \quad p~=~6 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n-p} = a_m + (n - m - p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n-6} = a_9 + (n - 9 - 6) \cdot 0)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(6)} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math>

<br />

=== <math>a_{n+p} = a_m + (n - m + p) \cdot r</math> ===

<br />

<math display="block">a_{n+p} = a_m + (n - m + p) \cdot r</math>

<br />

em que a sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_{n+p})}}</math> é expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_{n+p} = a_m + (n - m + p) \cdot r)}</math>

<br />

==== Exemplos ====

* <math>\overset{p~=~3 \quad r~=~3}{\underset{n~=~-2:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~2 \quad p~=~3 \quad r~=~3 }{\underset{n~=~-2:1:\infty}{(a_{n+p} = a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~-2:1:\infty}{(a_{n+3} = a_2 + (n - 2 + 3) \cdot 3)} = \underset{n~=~-2:1:\infty}{(a_{n+3} = 4 + (n + 1) \cdot 3)} = \underset{n~=~-2:1:\infty}{(a_{n+3} = 4 + 3n + 3)} = \underset{n~=~-2:1:\infty}{(a_{n+3} = 3n + 7)} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{p~=~2 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~-1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~3 \quad p~=~2 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~-1:1:\infty}{(a_{n+p} = a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~-1:1:\infty}{(a_{n+2} = a_3 + (n - 3 + 2) \cdot -2)} = \underset{n~=~-1:1:\infty}{(a_{n+2} = -6 + (n - 1) \cdot -2)} = \underset{n~=~-1:1:\infty}{(a_{n+2} = -6 - 2n + 2)} = \underset{n~=~-1:1:\infty}{(a_{n+2} = -2n - 4)} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{p~=~1 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~4 \quad p~=~1 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p} = a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+1} = a_4 + (n - 4 + 1) \cdot 0)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(6)} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math>

<br />

=== <math>a_{n-p} = a_{n-s} - (p - s) \cdot r</math> ===

<br />

<math display="block">a_{n-p} = a_{n-s} - (p - s) \cdot r</math>

<br />

em que a sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_{n-p})}}</math> é expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_{n-s} - (p - s) \cdot r)}</math>

<br />

==== Exemplos ====

* <math>\overset{p~=~4 \quad s~=~7 \quad r~=~3}{\underset{n~=~5:1:\infty}{(a_{n-p} = a_{n-s} - (p - s) \cdot r)}} = {\underset{n~=~5:1:\infty}{(a_{n-4} = a_{n-7} - (4 - 7) \cdot 3)}} = \underset{n~=~5:1:\infty}{(a_{n-4} = a_{n-7} - (- 3) \cdot 3)} = \underset{n~=~5:1:\infty}{(a_{n-4} = a_{n-7} + 9)} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~3 \quad p~=~2 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_3 + (n - 3 + 2) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 + (n - 1) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 - 2n + 2)} = \overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+2})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-2n - 4)} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~4 \quad p~=~1 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_4 + (n - 4 + 1) \cdot 0)} = \overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+1})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(6)} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math>

<br />

=== <math>a_{n+p} = a_{n-q} + (p + q)r</math> ===

<br />

<math display="block">a_{n+p} = a_{n-q} + (p + q)r</math>

<br />

em que a sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_{n+p})}}</math> é expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_{n-q} + (p + q)r)}</math>

<br />

==== Exemplos ====

* <math>\overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~2 \quad p~=~3 \quad r~=~3 }{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_2 + (n - 2 + 3) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + (n + 1) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + 3n + 3)} = \overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+3})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(3n + 7)} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~3 \quad p~=~2 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_3 + (n - 3 + 2) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 + (n - 1) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 - 2n + 2)} = \overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+2})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-2n - 4)} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~4 \quad p~=~1 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_4 + (n - 4 + 1) \cdot 0)} = \overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+1})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(6)} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math>

<br />

=== <math>a_{n-p} = a_{n+q} - (p + q)r</math> ===

<br />

<math display="block">a_{n-p} = a_{n+q} - (p + q)r</math>

<br />

em que a sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_{n-p})}}</math> é expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_{n+q} - (p + q)r)}</math>

<br />

==== Exemplos ====

* <math>\overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~2 \quad p~=~3 \quad r~=~3 }{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_2 + (n - 2 + 3) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + (n + 1) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + 3n + 3)} = \overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+3})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(3n + 7)} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~3 \quad p~=~2 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_3 + (n - 3 + 2) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 + (n - 1) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 - 2n + 2)} = \overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+2})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-2n - 4)} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~4 \quad p~=~1 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_4 + (n - 4 + 1) \cdot 0)} = \overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+1})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(6)} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math>

<br />

=== <math>a_{n+p} = a_{n+q} + (p - q)r</math> ===

<br />

<math display="block">a_{n+p} = a_{n+q} + (p - q)r</math>

<br />

em que a sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_{n+p})}}</math> é expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_{n+q} + (p - q)r)}</math>

<br />

==== Exemplos ====

* <math>\overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~2 \quad p~=~3 \quad r~=~3 }{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_2 + (n - 2 + 3) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + (n + 1) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + 3n + 3)} = \overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+3})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(3n + 7)} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~3 \quad p~=~2 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_3 + (n - 3 + 2) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 + (n - 1) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 - 2n + 2)} = \overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+2})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-2n - 4)} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~4 \quad p~=~1 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_4 + (n - 4 + 1) \cdot 0)} = \overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+1})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(6)} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math>

<br />

=== <math>a_{n-p} = a_n - pr</math> ===

<br />

<math display="block">a_{n-p} = a_n - pr</math>

<br />

em que a sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_{n-p})}}</math> é expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_n - pr)}</math>

<br />

==== Exemplos ====

* <math>\overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~2 \quad p~=~3 \quad r~=~3 }{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_2 + (n - 2 + 3) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + (n + 1) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + 3n + 3)} = \overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+3})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(3n + 7)} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~3 \quad p~=~2 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_3 + (n - 3 + 2) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 + (n - 1) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 - 2n + 2)} = \overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+2})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-2n - 4)} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~4 \quad p~=~1 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_4 + (n - 4 + 1) \cdot 0)} = \overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+1})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(6)} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math>

<br />

=== <math>a_{n+p} = a_n + pr</math> ===

<br />

<math display="block">a_{n+p} = a_n + pr</math>

<br />

em que a sequência <math>\overset{r}{\underset{n~\in~Range}{(a_{n+p})}}</math> é expressa por <math>\underset{n~\in~Range}{(a_n + pr)}</math>

<br />

==== Exemplos ====

* <math>\overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~2 \quad p~=~3 \quad r~=~3 }{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_2 + (n - 2 + 3) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + (n + 1) \cdot 3)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(4 + 3n + 3)} = \overset{r~=~3}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+3})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(3n + 7)} = (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~3 \quad p~=~2 \quad r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_3 + (n - 3 + 2) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 + (n - 1) \cdot -2)} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-6 - 2n + 2)} = \overset{r~=~-2}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+2})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(-2n - 4)} = (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots)</math>

<br />

* <math>\overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+p})}} = \overset{m~=~4 \quad p~=~1 \quad r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_m + (n - m + p) \cdot r)}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(a_4 + (n - 4 + 1) \cdot 0)} = \overset{r~=~0}{\underset{n~=~1:1:\infty}{(a_{n+1})}} = \underset{n~=~1:1:\infty}{(6)} = (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots)</math>

== Demonstrações para <math>a_n</math>, <math>a_{n-p}</math>, <math>a_{n+p}</math> ==
==== <math>a_n = a_m + (n - m) \cdot r</math> ====
==== <math>a_{n-p} = a_m + (n - m - p) \cdot r</math> ====
==== <math>a_{n+p} = a_m + (n - m + p) \cdot r</math> ====
Tomando como referência índices quaisquer, por exemplo 2 e 3:

<br />

<math>\qquad (\ldots, \quad \underbrace{a_2 - 4r}_{a_{-2}}, \quad \underbrace{a_2 - 3r}_{a_{-1}}, \quad \underbrace{a_2 - 2r}_{a_0}, \quad \underbrace{a_2 - r}_{a_1}, \quad a_2, \quad \underbrace{a_2 + r}_{a_3}, \quad \underbrace{a_2 + 2r}_{a_4}, \quad \underbrace{a_2 + 3r}_{a_5}, \quad \ldots, \quad \underbrace{a_2 + (n - 4) \cdot r}_{a_{n-2}}, \quad \underbrace{a_2 + (n - 3) \cdot r}_{a_{n-1}}, \quad \underbrace{a_2 + (n - 2) \cdot r}_{a_{n}}, \quad \underbrace{a_2 + (n - 1) \cdot r}_{a_{n+1}}, \quad \underbrace{a_2 + (n - 0) \cdot r}_{a_{n+2}}, \quad \ldots)</math>

<br />

<math>\qquad (\ldots, \quad \underbrace{a_3 - 5r}_{a_{-2}}, \quad \underbrace{a_3 - 4r}_{a_{-1}}, \quad \underbrace{a_3 - 3r}_{a_0}, \quad \underbrace{a_3 - 2r}_{a_1}, \quad \underbrace{a_3 - r}_{a_2}, \quad a_3, \quad \underbrace{a_3 + r}_{a_4}, \quad \underbrace{a_3 + 2r}_{a_5}, \quad \underbrace{a_3 + 3r}_{a_6}, \quad \ldots, \quad \underbrace{a_3 + (n - 5) \cdot r}_{a_{n-2}}, \quad \underbrace{a_3 + (n - 4) \cdot r}_{a_{n-1}}, \quad \underbrace{a_3 + (n - 3) \cdot r}_{a_{n}}, \quad \underbrace{a_3 + (n - 2) \cdot r}_{a_{n+1}}, \quad \underbrace{a_3 + (n - 1) \cdot r}_{a_{n+2}}, \quad \ldots)</math>

<br />

observe que qualquer que seja o índice tomado como referência, são sempre válidas e dedutíveis as fórmulas:

<br />

<math display="block">a_n = a_m + (n - m) \cdot r</math>

<br />

ao passar de <math>a_m</math> para <math>a_n</math>, avançamos <math>(n - m)</math> termos, ou seja, basta somar <math>(n - m)</math> vezes a razão ao <math>m</math>º termo

<br />

Note que:

* <math>a_9 = a_4 + 5r</math>, pois, ao passar de <math>a_4</math> para <math>a_9</math>, avançamos <math>5</math> termos
* <math>a_3 = a_{15} - 12r</math>, pois retrocedemos 12 termos ao passar de <math>a_{15}</math> para <math>a_3</math>

<br />

<math display="block">a_{n-p} = a_m + (n - (m + p)) \cdot r</math>

<math display="block">a_{n-p} = a_m + (n - m - p) \cdot r</math>

<br />

<math display="block">a_{n+p} = a_m + (n - (m - p)) \cdot r</math>

<math display="block">a_{n+p} = a_m + (n - m + p) \cdot r</math>

<br />

==== <math>a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r</math> ====
Podemos escrever uma Progressão Aritmética, tomando como referência o <math>1</math>º índice:

<br />

<math>\qquad (\ldots, \quad \underbrace{a_1 - 3r}_{a_{-2}}, \quad \underbrace{a_1 - 2r}_{a_{-1}}, \quad \underbrace{a_1 - r}_{a_0}, \quad a_1, \quad \underbrace{a_1 + r}_{a_2}, \quad \underbrace{a_1 + 2r}_{a_3}, \quad \underbrace{a_1 + 3r}_{a_4}, \quad \ldots, \quad \underbrace{a_1 + (n - 3) \cdot r}_{a_{n-2}}, \quad \underbrace{a_1 + (n - 2) \cdot r}_{a_{n-1}}, \quad \underbrace{a_1 + (n - 1) \cdot r}_{a_{n}}, \quad \underbrace{a_1 + (n - 0) \cdot r}_{a_{n+1}}, \quad \underbrace{a_1 + (n + 1) \cdot r}_{a_{n+2}}, \quad \ldots)</math>

<br />

assim obtendo a fórmula para P.A. com referência no <math>1</math>º índice:

<br />

<math display="block">a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r</math>

<br />

ao passar de <math>a_1</math> para <math>a_n</math>, avançamos <math>(n - 1)</math> termos, ou seja, basta somar <math>(n - 1)</math> vezes a razão ao <math>1</math>º termo.

<br />

==== <math>a_{n-p} = a_{n-q} - (p - q)r</math> ====
==== <math>a_{n+p} = a_{n-q} + (p + q)r</math> ====
Com os índices <math>n - 1</math> e <math>n - 2</math> como referência:

<br />

<math display="block">(\ldots, \quad \underbrace{a_{n-1} - 4r}_{a_{n-5}}, \quad \underbrace{a_{n-1} - 3r}_{a_{n-4}}, \quad \underbrace{a_{n-1} - 2r}_{a_{n-3}}, \quad \underbrace{a_{n-1} - r}_{a_{n-2}}, \quad a_{n-1}, \quad \underbrace{a_{n-1} + r}_{a_{n}}, \quad \underbrace{a_{n-1} + 2r}_{a_{n+1}}, \quad \underbrace{a_{n-1} + 3r}_{a_{n+2}}, \quad \ldots)</math>

<br />

<math display="block">(\ldots, \quad \underbrace{a_{n-2} - 4r}_{a_{n-6}}, \quad \underbrace{a_{n-2} - 3r}_{a_{n-5}}, \quad \underbrace{a_{n-2} - 2r}_{a_{n-4}}, \quad \underbrace{a_{n-2} - r}_{a_{n-3}}, \quad a_{n-2}, \quad \underbrace{a_{n-2} + r}_{a_{n-1}}, \quad \underbrace{a_{n-2} + 2r}_{a_{n}}, \quad \underbrace{a_{n-2} + 3r}_{a_{n+1}}, \quad \ldots)</math>

<br />

deduzindo as fórmulas:

<br />

<math display="block">a_{n-p} = a_{n-q} - (p - q)r</math>

<br />

<math display="block">a_{n+p} = a_{n-q} + (p + q)r</math>

<br />

==== <math>a_{n-p} = a_{n+q} - (p + q)r</math> ====
==== <math>a_{n+p} = a_{n+q} + (p - q)r</math> ====
Com os índices <math>n + 1</math> e <math>n + 2</math> como referência:

<br />

<math display="block">(\ldots, \quad \underbrace{a_{n+1} - 4r}_{a_{n-3}}, \quad \underbrace{a_{n+1} - 3r}_{a_{n-2}}, \quad \underbrace{a_{n+1} - 2r}_{a_{n-1}}, \quad \underbrace{a_{n+1} - r}_{a_{n}}, \quad a_{n+1}, \quad \underbrace{a_{n+1} + r}_{a_{n+2}}, \quad \underbrace{a_{n+1} + 2r}_{a_{n+3}}, \quad \underbrace{a_{n+1} + 3r}_{a_{n+4}}, \quad \ldots)</math>

<br />

<math display="block">(\ldots, \quad \underbrace{a_{n+2} - 4r}_{a_{n-2}}, \quad \underbrace{a_{n+2} - 3r}_{a_{n-1}}, \quad \underbrace{a_{n+2} - 2r}_{a_{n}}, \quad \underbrace{a_{n+2} - r}_{a_{n+1}}, \quad a_{n+2}, \quad \underbrace{a_{n+2} + r}_{a_{n+3}}, \quad \underbrace{a_{n+2} + 2r}_{a_{n+4}}, \quad \underbrace{a_{n+2} + 3r}_{a_{n+5}}, \quad \ldots)</math>

<br />

deduzindo as fórmulas:

<br />

<math display="block">a_{n-p} = a_{n+q} - (p + q)r</math>

<br />

<math display="block">a_{n+p} = a_{n+q} + (p - q)r</math>

<br />

==== <math>a_{n-p} = a_n - pr</math> ====
==== <math>a_{n+p} = a_n + pr</math> ====
Com o índice <math>n</math> como referência:

<br />

<math display="block">(\ldots, \quad \underbrace{a_n - 3r}_{a_{n-3}}, \quad \underbrace{a_n - 2r}_{a_{n-2}}, \quad \underbrace{a_n - r}_{a_{n-1}}, \quad a_n, \quad \underbrace{a_n + r}_{a_{n+1}}, \quad \underbrace{a_n + 2r}_{a_{n+2}}, \quad \underbrace{a_n + 3r}_{a_{n+3}}, \quad \ldots)</math>

<br />

deduzindo as fórmulas:

<br />

<math display="block">a_{n-p} = a_n - pr</math>

<br />

<math display="block">a_{n+p} = a_n + pr</math>

=== Demonstração por indução matemática ===

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

* Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa <math>r</math> e portanto <math>a_2 = a_1 + 1 \cdot r</math>

* Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para <math>n - 1</math>, ou seja, que <math>a_{n-1} = a_1 + (n - 2) \cdot r</math>, resulta que o n-ésimo termo é dado por

<br />

<math display="block">\qquad a_n = a_{n-1} + r = (a_1 + (n - 2) \cdot r) + r = a_1 + (n - 2 + 1) \cdot r = a_1 + (n - 1) \cdot r</math>

== Representação por função ==
Qualquer P.A. pode ser expressa sob a forma de uma função de 1º grau:

<br />

<math display="block">\underset{x~\in~Range}{f(x)} = ax + b</math>