Overview em Sistemas de Controle

Estudo de um Projeto de Sistema de Controle (Nº 1)

Revisão sobre Modelos Matemáticos

Um sistema mecânico massa-mola-amortecedor é mostrado na figura Figura 1.0. A massa se movimenta segundo a equação (1) e seu movimento é denotado por y(t).

Figura 1.0. Sistema Massa Mola com Amortecedor .

• $𝐌\ddot{𝐲}\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}\mathbf{+}𝐛\dot{𝐲}\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}\mathbf{+}𝐤𝐲\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}\mathbf{=}𝐫\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}$ (1)

• Resolvendo essa a equação (1):

   (I):

   $ℒ\{M\ddot{y}(t)+b\dot{y}(t)+ky(t)\}=ℒ\{r(t)\}$

   $M(s^{2}Y(s)-sy(0^{-})-\dot{y}(0^{-}))+b(sY(s)-y(0^{-}))+kY(s)=R(s)$

   Quando: $r(t)=0$ e $y(0^{-})=y_0$ e $\dot{y}(0^{-})=0)\Rightarrow$

   $M(s^{2}Y(s)-s{y}_0)+b(sY(s)-y_0)+kY(s)=0$

   $M{s}^{2}Y(s)-Ms{y}_0+bsY(s)-b{y}_0+kY(s)=0$

   $𝐘\mathbf{(}𝐬\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{y_0(Ms+b)}{(M{s}^2+bs+k)}\mathbf{=}\frac{p(s)}{q(s)}$  (2) 

   Onde q(s) quando igualada a zero é conhecida como Equação Característica. As raíses dessa equação são chamadas de polos e as raízes de p(s) são chamadas de zeros, nesse caso o existe um
 zero: $s=\frac{-b}{M}$.

   (II):

   Fazendo um caso particular: $\frac{k}{M}=2$ e $\frac{b}{M}=3$ $\Rightarrow$

   $Y(s)=\frac{y_0(Ms+3M)}{(M{s}^2+3Ms+2M)}=\frac{y_0(s+3)}{(s^2+3s+2)}=\frac{y_0(s+3)}{(s+2)(s+1)}$

   Expandindo em Frações Parciais: 

   $Y(s)=\frac{k_1}{(s+1)}+\frac{k_2}{(s+2)}$

   Onde ${𝐤}_{\mathrm{𝟏}}$ e ${𝐤}_{\mathrm{𝟐}}$ são conhecidos como resíduos. Fazendo $y_0=1$ e multiplicando os dois lados da equação $(s+1)(s+2)$:

   $Y(s)(s+1)(s+2)=k_1(s+2)+k_2(s+1)\Rightarrow (s+3)=k_1(s+2)+k_2(s+1)$

   $s=-1:k_1=\frac{-1+3}{-1+2}=\frac{2}{1}=2$. Ou seja, $\frac{(s+1)(s+3)}{(s+1)(s+2)}{|}_{s_1=-1}=2$
 
   $s=-2:k_2=\frac{-2+3}{-2+1}=\frac{1}{-1}=-1$. Ou seja, $\frac{(s+2)(s+3)}{(s+2)(s+1)}{|}_{s_1=-2}=-1$

   Isso nos leva a:

   $Y(s)=\frac{2}{(s+1)}+\frac{-1}{(s+2)}\Rightarrow$

   ${ℒ}^{-1}\{Y(s)\}={ℒ}^{-1}\{\frac{2}{(s+1)}+\frac{-1}{(s+2)}\}\Rightarrow$

   ${ℒ}^{-1}\{Y(s)\}={ℒ}^{-1}\left\{\frac{2}{(s+1)}\right\}+{ℒ}^{-1}\left\{\frac{-1}{(s+2)}\right\}\Rightarrow$

   $y(t)=2e^{-t}+-e^{-2t}$

   A Equação (2) pode ser escrita da seguinte forma:

   $𝐘\mathbf{(}𝐬\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{y_0(Ms+b)}{(M{s}^2+bs+k)}\mathbf{=}\frac{(s+2\zeta {\omega }_n)y_0}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$  (3)  

   Onde $\mathit{\zeta }$ é conhecido como Coeficiente de Amortecimento e ${\mathit{\omega }}_{𝐧}$ a Frequência Natural. Isso nos leva as raízes da equação característica:

   $\mathrm{\Delta }=(2\zeta {\omega }_n{)}^2-4{\omega }_n^2$  $\Rightarrow$  $\mathrm{\Delta }=4{\omega }_n^2{\zeta }^2-4{\omega }_n^2$  $\Rightarrow$  $\mathrm{\Delta }=4{\omega }_n^2({\zeta }^2-1)$ $\Rightarrow$

   $\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{4{\omega }_n^2({\zeta }^2-1)}=2{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}\Rightarrow$ 

   $s_1,s_2=\frac{-2\zeta {\omega }_n\pm 2{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}}{2}\Rightarrow$

   ${𝐬}_{\mathrm{𝟏}},{𝐬}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{\zeta }{\mathit{\omega }}_{𝐧}\mathbf{\pm }{\mathit{\omega }}_{𝐧}\sqrt{{\mathit{\zeta }}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}$ (4)

   (III):

   Sabendo que ${\mathit{\omega }}_{𝐧}\mathbf{=}\sqrt{\frac{k}{M}}$ e $\mathit{\zeta }\mathbf{=}\sqrt{𝐤𝐌}$, dado que:

   $Y(s)=\frac{y_{0}M(s+\frac{b}{M})}{M(s^2+\frac{b}{M}s+\frac{k}{M})}=\frac{y_0(s+\frac{b}{M})}{(s^2+\frac{b}{M}s+\frac{k}{M})}\Rightarrow$ 

   $2\zeta {\omega }_n=\frac{b}{M}$ e ${\omega }_n^2=\frac{k}{M}\Rightarrow$ 

   ${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{M}}$ e $\zeta =\frac{b}{2\sqrt{kM}}$ 

   Quando $\mathit{\zeta }>\mathrm{𝟏}$ as raízes são reais e diferentes e o sistema é superamortecido, quando $\mathit{\zeta }<\mathrm{𝟏}$ as raízes são complexas e o sistema é subamortecido, quando $\mathit{\zeta }\mathbf{=}\mathrm{𝟏}$ as raízes são reais e iguais e o sistema é criticamente amortecido.

   (IV):

   Quando $\zeta <1$ $\Rightarrow$ ${\zeta }^2-1=(-1)(1-{\zeta }^2)$ $\Rightarrow$ $\sqrt{(-1)(1-{\zeta }^2)}=j\sqrt{1-{\zeta }^2}$ isso implica que:

   ${𝐬}_{\mathrm{𝟏}},{𝐬}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathit{\zeta }{\mathit{\omega }}_{𝐧}\mathbf{\pm }𝐣{\mathit{\omega }}_{𝐧}\sqrt{\mathrm{𝟏}\mathbf{-}{\mathit{\zeta }}^{\mathrm{𝟐}}}$  (5) 

   Utilizando a  Figura 2.0  para o entendimento: ( (*)  sabendo que os valores para o calculo do ângulo \theta são absolutos)

       $\left\{\begin{array}{c}1)|s_1|=|s_2|=\sqrt{{\omega }_n^2{\zeta }^2+{\omega }_n^2(1-{\zeta }^2)}=\sqrt{{\omega }_n^2{\zeta }^2+{\omega }_n^2-{\omega }_n^2{\zeta }^2}=\sqrt{{\omega }_n^2}={\omega }_n\\ 2)Re\{s_1\}=Re\{s_2\}=-{\omega }_n\zeta \\ 3)Im\{s_1\}=-Im\{s_2\}={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}\end{array}\right\}\Rightarrow$ 
       

       $\left\{\begin{array}{c}1)\theta =\arctan \frac{j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta {\omega }_n}\\ 2)\theta =\arccos \frac{\zeta {\omega }_n}{{\omega }_n}\\ 3)\theta =\arcsin \frac{j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}{{\omega }_n}\end{array}\right\}\Rightarrow$
       

       $\left\{\begin{array}{c}1)\theta =\arctan \frac{j\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }\\ 2)\theta =\arccos \zeta \\ 3)\theta =\arcsin j\sqrt{1-{\zeta }^2}\end{array}\right\}$  (6) 
     

Figura 2.0. Plotagem dos Polos e dos Zeros de Y(s).

   É interessante notar $\mathit{\theta }\mathbf{=}\arccos \mathit{\zeta }$: quando $\mathit{\zeta }$ diminui o que diminui é o $\cos \mathit{\theta }$, nesse caso o ângulo vai no sentido horário aumentando o seu valor e tornando o seu cosseno mais próximo de zero, ou seja, aproximando o seu valor de $\frac{\pi }{2}$. Isso mostra que a partir que eu diminuo o meu coefieciente de amortecimento a parte real das minhas raízes tendem a diminuir, levando a um conteudo completamente imaginário, isso vai se mostrar mais adiante como um sistema completamente oscilatório, por outro lado a medida que o coeficiente de amortecimento aumenta o cosseno tende a aumentar isso leva a uma diminuição da parte imaginária das raízes (um sistema menos oscilatório) e a um $\mathit{\theta }$ mais próximo de 0, ou seja, quando $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathrm{𝟎}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{\zeta }\mathbf{=}\mathrm{𝟏}$ e quando $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathrm{𝟏}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{\zeta }\mathbf{=}\frac{\pi }{2}$ como mostra a  Figura 3.0 . Isso nos leva a conclusão de que como quando o $\mathit{\zeta }\mathbf{=}\mathrm{𝟏}$ o sistema é criticamente amortecido e que quando $\mathit{\zeta }\mathbf{=}\mathrm{𝟏}$ o $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathrm{𝟎}$, então quando o $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathrm{𝟎}$ o sistema é criticamente amortecido, usando o mesmo raciocínio, como quando $\mathit{\zeta }\mathbf{=}\mathrm{𝟎}$ o sistema é subamortecido e que quando $\mathit{\zeta }\mathbf{=}\mathrm{𝟎}$ o $\mathit{\theta }\mathbf{=}\frac{\pi }{2}$, então quando o $\mathit{\theta }\mathbf{=}\frac{\pi }{2}$ o sistema é subamortecido, e quando $\mathrm{𝟎}<\mathit{\theta }<\mathbf{=}\frac{\pi }{2}$ o sistema é subamortecido, só lembrando que quando $\mathit{\zeta }>\mathrm{𝟏}$ o sistema é superamortecido e se analisa $-\mathit{\theta }$.

Figura 3.0.Lugar das Raízes / Variação do Amortecimento / Frequência Constante .

   (V):

   Tentemos encontrar a solução da equação (2) no domínio do tempo:
   

   $Y(s)=\frac{y_0(Ms+b)}{(M{s}^2+bs+k)}=\frac{k_1}{(s-s_1)}+\frac{k_2}{(s-s_2)}=\frac{k_1}{(s-s_1)}+\frac{k_2}{(s-{\hat{s}}_1)}$ 

   Onde ${\widehat{𝐬}}_{\mathrm{𝟏}}$ é o conjugado de ${𝐬}_{\mathrm{𝟏}}$ e ${𝐤}_{\mathrm{𝟏}}$ e ${𝐤}_{\mathrm{𝟐}}$ são resíduos.Multiplicando os dois lados da euqação por $(s-s_1)(s-{\hat{s}}_1)$:

    $Y(s)(s-s_1)(s-{\hat{s}}_1)=k_1(s-{\hat{s}}_1)+k_2(s-s_1)$

    $(s+2\zeta {\omega }_n)y_0=k_1(s-{\hat{s}}_1)+k_2(s-s_1)$

    $s=s_1:k_1=\frac{(s_1+2\zeta {\omega }_n)y_0}{(s_1-{\hat{s}}_1)}$

    $s=s_2:k_2=\frac{({\hat{s}}_1+2\zeta {\omega }_n)y_0}{({\hat{s}}_1-s_1)}$

    Fazendo o uso da formula de Euler: $z=|z|(\cos \theta +\sin \theta j)=|z|e^{j\theta }$

    $\left\{\begin{array}{c}1)k_1=\frac{N_1}{D_1}\\ 2)k_2=\frac{N_2}{D_2}\end{array}\right\}\Rightarrow$
    

    $\left\{\begin{array}{c}1)N_1=(s_1+2\zeta {\omega }_n)y_0=(-\zeta {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}+2\zeta {\omega }_n)y_0=(\zeta {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})y_0\\ 2)D_1=(s_1-{\hat{s}}_1)=(-\zeta {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}+\zeta {\omega }_n+{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})=2j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}\\ 3)N_2=({\hat{s}}_1+2\zeta {\omega }_n)y_0=(-\zeta {\omega }_n-j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}+2\zeta {\omega }_n)y_0=(\zeta {\omega }_n-j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})y_0\\ 4)D_2=({\hat{s}}_1-s_1)=(-\zeta {\omega }_n-j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}+\zeta {\omega }_n-j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})=-2j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}\end{array}\right\}\Rightarrow ,$ (Lembrando de $\mathbf{(}\mathrm{𝟔}\mathbf{)}$ e $|s_1|=|{\hat{s}}_1|={\omega }_n$)
    

    $\left\{\begin{array}{c}1)N_1=M_1{e}^{j\theta }{y}_0\\ 2)D_1=M_2{e}^{\frac{\pi }{2}}\\ 3)N_2=M_1{e}^{-j\theta }{y}_0\\ 4)D_2=M_2{e}^{\frac{-\pi }{2}}\end{array}\right\}\Rightarrow$
    

    $\left\{\begin{array}{c}1)k_1=\frac{M_1{e}^{j\theta }{y}_0}{M_2{e}^{\frac{\pi }{2}}}\\ 2)k_2=\frac{M_1{e}^{-j\theta }{y}_0}{M_2{e}^{\frac{-\pi }{2}}}\end{array}\right\}\Rightarrow$
    

    $\left\{\begin{array}{c}1)k_1=\frac{{\omega }_n{e}^{j\theta }{y}_0}{2{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}{e}^{\frac{\pi }{2}}}\\ 2)k_2=\frac{{\omega }_n{e}^{-j\theta }{y}_0}{2{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}{e}^{\frac{-\pi }{2}}}\end{array}\right\}\Rightarrow$
    

    $\left\{\begin{array}{c}1)k_1=\frac{e^{(j\theta -\frac{\pi }{2})}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}\\ 2)k_2=\frac{e^{(\frac{\pi }{2}-j\theta )}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}\end{array}\right\}\Rightarrow$
    

    $Y(s)=\frac{\frac{e^{j(\theta -\frac{\pi }{2})}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}}{(s-s_1)}+\frac{\frac{e^{j(\frac{\pi }{2}-\theta )}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}}{(s-{\hat{s}}_1)}=\frac{\frac{e^{j(\theta -\frac{\pi }{2})}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}}{(s+\zeta {\omega }_n-j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})}+\frac{\frac{e^{j(\frac{\pi }{2}-\theta )}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}}{(s+\zeta {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})}\Rightarrow {ℒ}^{-1}\{Y(s)\}={ℒ}^{-1}\{\frac{\frac{e^{j(\theta -\frac{\pi }{2})}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}}{(s+\zeta {\omega }_n-j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})}+\frac{\frac{e^{j(\frac{\pi }{2}-\theta )}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}}{(s+\zeta {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})}\}\Rightarrow y(t)={ℒ}^{-1}\left\{\frac{\frac{e^{j(\theta -\frac{\pi }{2})}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}}{(s+\zeta {\omega }_n-j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})}\right\}+{ℒ}^{-1}\left\{\frac{\frac{e^{j(\frac{\pi }{2}-\theta )}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}}{(s+\zeta {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})}\right\}=$ 
 
    $y(t)=\frac{e^{j(\theta -\frac{\pi }{2})}{e}^{(-\zeta {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})t}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}+\frac{e^{j(\frac{\pi }{2}-\theta )}{e}^{(-\zeta {\omega }_n-j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2})t}{y}_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}=\frac{(e^{(j\theta -\frac{j\pi }{2}-\zeta {\omega }_{n}t+j{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})}+e^{(\frac{j\pi }{2}-j\theta -\zeta {\omega }_{n}t-j{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})})y_0}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}=\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}{y}_0(e^{(j\theta -\frac{j\pi }{2}+j{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})}+e^{(\frac{j\pi }{2}-j\theta -j{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})})}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}=\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}{y}_0(-j{e}^{(j\theta +j{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})}+j{e}^{(-j\theta -j{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})})}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}=\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}{y}_0(-j{e}^{j(\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})}+j{e}^{-j(\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})})}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}=$

   $\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}{y}_0(-j\cos (\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})+\sin (\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})+j\cos (-(\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2}))-\sin (-(\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})))}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}=\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}{y}_0(-j\cos (\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})+\sin (\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})+j\cos (\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2})+\sin (\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2}))}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}$ 

   $\frac{2e^{-\zeta {\omega }_{n}t}{y}_0\sin (\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2}))}{2\sqrt{1-{\zeta }^2}}=\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}{y}_0\sin (\theta +{\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2}))}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\Rightarrow$

    $𝐲\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{\left[}\frac{y(0)}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\mathbf{\right]}\mathbf{.}\mathbf{[}{𝐞}^{\mathbf{-}\mathit{\zeta }{\mathit{\omega }}_{𝐧}𝐭}\sin \mathbf{(}{\mathit{\omega }}_{𝐧}\sqrt{\mathrm{𝟏}\mathbf{-}{\mathit{\zeta }}^{\mathrm{𝟐}}}𝐭\mathbf{+}\mathit{\theta }\mathbf{)}\mathbf{]}$  (7)