Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) ou sequência aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante $r$. O número $r$ é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.

Uma parte finita de uma progressão aritmética é chamada uma progressão aritmética finita ou apenas progressão aritmética. A soma de uma progressão aritmética finita é chamada uma série aritmética finita.

Definição

Notamos que, de modo geral, uma sequência numérica $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_n)}}=(\dots ,a_1,a_2,a_3,a_4,\dots ,a_{n-2},a_{n-1},a_n,\dots )$ é uma P.A. quando definida recursivamente por:

$\dots$

$a_2=a_1+r\Rightarrow r=a_2-a_1$

$a_3=a_2+r\Rightarrow r=a_3-a_2$

$a_4=a_3+r\Rightarrow r=a_4-a_3$

$\dots$

$a_{n-2}=a_{n-3}+r\Rightarrow r=a_{n-2}-a_{n-3}$

$a_{n-1}=a_{n-2}+r\Rightarrow r=a_{n-1}-a_{n-2}$

$a_n=a_{n-1}+r\Rightarrow r=a_n-a_{n-1}$

$\dots$

Comparando, temos:

$$r=\dots =a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=\dots =a_{n-1}-a_{n-2}=a_n-a_{n-1}=\dots$$

onde

• $a_n$ é o n-ésino termo da sequência $(a_n)$
• $n$ corresponde ao número de termos $-$ até $a_n$
• o primeiro termo, $a_1$ é um número dado
• o número $r$ é chamado de razão da progressão aritmética

Exemplos

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

• $\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n)}}=(1,4,7,10,13,\dots )$ é uma progressão aritmética em que o primeiro termo $a_1$ é igual a $1$ e a razão $r$ é igual a $3$

• $\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n)}}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$ é uma P.A. em que $a_1=-2$ e $r=-2$

• $\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n)}}=(6,6,6,6,6,\dots )$ é uma P.A. com $a_1=6$ e $r=0$

Fórmulas para $a_n$, $a_{n-p}$, $a_{n+p}$

$a_n=a_m+(n-m)\cdot r$

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por $a_n$, pode ser obtido por meio da fórmula:

$$a_n=a_m+(n-m)\cdot r$$

portanto uma sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_n)}}$ também pode ser expressa por $\underset{n\in Range}{(a_n=a_m+(n-m)\cdot r)}=\underset{n\in Range}{(a_m+(n-m)\cdot r)}$

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

ou pela fórmula:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$$

de forma semelhante, uma sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_n)}}$ também pode ser expressa por $\underset{n\in Range}{(a_n=a_1+(n-1)\cdot r)}=\underset{n\in Range}{(a_1+(n-1)\cdot r)}$

em que:

• $a_n$ é o n-ésimo termo da sequência $(a_n)$
• $n$ é o número de termos $-$ até $a_n$
• $a_1$ é o primeiro termo
• $r$ é a razão

Exemplos

• $\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n)}}=\stackrel{m=1r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=a_m+(n-m)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=a_1+(n-1)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=1+(n-1)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=1+3n-3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=3n-2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(3n-2)}=(1,4,7,10,13,\dots )$

• $\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n)}}=\stackrel{m=3r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=a_m+(n-m)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=a_3+(n-3)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=-6+(n-3)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=-6-2n+6)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=-2n)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-2n)}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$

• $\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n)}}=\stackrel{m=5r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=a_m+(n-m)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_n=a_5+(n-5)\cdot 0)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(6)}=(6,6,6,6,6,\dots )$

$a_{n-p}=a_m+(n-m-p)\cdot r$

Outras fórmulas para P.A. são:

$$a_{n-p}=a_m+(n-m-p)\cdot r$$

onde a sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_{n-p})}}$ pode ser expressa por $\underset{n\in Range}{(a_{n-p}=a_m+(n-m-p)\cdot r)}$

Exemplos

• $\stackrel{p=1r=3}{\underset{n=2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-p})}}=\stackrel{m=2p=1r=3}{\underset{n=2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-p}=a_m+(n-m-p)\cdot r)}}=\underset{n=2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-1}=a_2+(n-2-1)\cdot 3)}=\underset{n=2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-1}=4+(n-3)\cdot 3)}=\underset{n=2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-1}=4+3n-9)}=\underset{n=2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-1}=3n-5)}=(1,4,7,10,13,\dots )$

• $\stackrel{p=5r=-2}{\underset{n=6:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-p})}}=\stackrel{m=4p=5r=-2}{\underset{n=6:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-p}=a_m+(n-m-p)\cdot r)}}=\underset{n=6:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-5}=a_4+(n-4-5)\cdot -2)}=\underset{n=6:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-5}=-8+(n-9)\cdot -2)}=\underset{n=6:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-5}=-8-2n+18)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-5}=-2n+10)}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$

• $\stackrel{p=6r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-p})}}=\stackrel{m=9p=6r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-p}=a_m+(n-m-p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-6}=a_9+(n-9-6)\cdot 0)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(6)}=(6,6,6,6,6,\dots )$

$a_{n+p}=a_m+(n-m+p)\cdot r$

$$a_{n+p}=a_m+(n-m+p)\cdot r$$

em que a sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_{n+p})}}$ é expressa por $\underset{n\in Range}{(a_{n+p}=a_m+(n-m+p)\cdot r)}$

Exemplos

• $\stackrel{p=3r=3}{\underset{n=-2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=2p=3r=3}{\underset{n=-2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p}=a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=-2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+3}=a_2+(n-2+3)\cdot 3)}=\underset{n=-2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+3}=4+(n+1)\cdot 3)}=\underset{n=-2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+3}=4+3n+3)}=\underset{n=-2:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+3}=3n+7)}=(1,4,7,10,13,\dots )$

• $\stackrel{p=2r=-2}{\underset{n=-1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=3p=2r=-2}{\underset{n=-1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p}=a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=-1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2}=a_3+(n-3+2)\cdot -2)}=\underset{n=-1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2}=-6+(n-1)\cdot -2)}=\underset{n=-1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2}=-6-2n+2)}=\underset{n=-1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2}=-2n-4)}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$

• $\stackrel{p=1r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=4p=1r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p}=a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+1}=a_4+(n-4+1)\cdot 0)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(6)}=(6,6,6,6,6,\dots )$

$a_{n-p}=a_{n-s}-(p-s)\cdot r$

$$a_{n-p}=a_{n-s}-(p-s)\cdot r$$

em que a sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_{n-p})}}$ é expressa por $\underset{n\in Range}{(a_{n-s}-(p-s)\cdot r)}$

Exemplos

• $\stackrel{p=4s=7r=3}{\underset{n=5:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-p}=a_{n-s}-(p-s)\cdot r)}}=\underset{n=5:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-4}=a_{n-7}-(4-7)\cdot 3)}=\underset{n=5:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-4}=a_{n-7}-(-3)\cdot 3)}=\underset{n=5:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n-4}=a_{n-7}+9)}=(1,4,7,10,13,\dots )$

• $\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=3p=2r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_3+(n-3+2)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6+(n-1)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6-2n+2)}=\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-2n-4)}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$

• $\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=4p=1r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_4+(n-4+1)\cdot 0)}=\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+1})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(6)}=(6,6,6,6,6,\dots )$

$a_{n+p}=a_{n-q}+(p+q)r$

$$a_{n+p}=a_{n-q}+(p+q)r$$

em que a sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_{n+p})}}$ é expressa por $\underset{n\in Range}{(a_{n-q}+(p+q)r)}$

Exemplos

• $\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=2p=3r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_2+(n-2+3)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+(n+1)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+3n+3)}=\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+3})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(3n+7)}=(1,4,7,10,13,\dots )$

• $\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=3p=2r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_3+(n-3+2)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6+(n-1)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6-2n+2)}=\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-2n-4)}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$

• $\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=4p=1r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_4+(n-4+1)\cdot 0)}=\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+1})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(6)}=(6,6,6,6,6,\dots )$

$a_{n-p}=a_{n+q}-(p+q)r$

$$a_{n-p}=a_{n+q}-(p+q)r$$

em que a sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_{n-p})}}$ é expressa por $\underset{n\in Range}{(a_{n+q}-(p+q)r)}$

Exemplos

• $\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=2p=3r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_2+(n-2+3)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+(n+1)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+3n+3)}=\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+3})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(3n+7)}=(1,4,7,10,13,\dots )$

• $\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=3p=2r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_3+(n-3+2)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6+(n-1)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6-2n+2)}=\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-2n-4)}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$

• $\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=4p=1r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_4+(n-4+1)\cdot 0)}=\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+1})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(6)}=(6,6,6,6,6,\dots )$

$a_{n+p}=a_{n+q}+(p-q)r$

$$a_{n+p}=a_{n+q}+(p-q)r$$

em que a sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_{n+p})}}$ é expressa por $\underset{n\in Range}{(a_{n+q}+(p-q)r)}$

Exemplos

• $\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=2p=3r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_2+(n-2+3)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+(n+1)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+3n+3)}=\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+3})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(3n+7)}=(1,4,7,10,13,\dots )$

• $\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=3p=2r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_3+(n-3+2)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6+(n-1)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6-2n+2)}=\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-2n-4)}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$

• $\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=4p=1r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_4+(n-4+1)\cdot 0)}=\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+1})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(6)}=(6,6,6,6,6,\dots )$

$a_{n-p}=a_n-pr$

$$a_{n-p}=a_n-pr$$

em que a sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_{n-p})}}$ é expressa por $\underset{n\in Range}{(a_n-pr)}$

Exemplos

• $\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=2p=3r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_2+(n-2+3)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+(n+1)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+3n+3)}=\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+3})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(3n+7)}=(1,4,7,10,13,\dots )$

• $\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=3p=2r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_3+(n-3+2)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6+(n-1)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6-2n+2)}=\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-2n-4)}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$

• $\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=4p=1r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_4+(n-4+1)\cdot 0)}=\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+1})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(6)}=(6,6,6,6,6,\dots )$

$a_{n+p}=a_n+pr$

$$a_{n+p}=a_n+pr$$

em que a sequência $\stackrel{r}{\underset{n\in Range}{(a_{n+p})}}$ é expressa por $\underset{n\in Range}{(a_n+pr)}$

Exemplos

• $\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=2p=3r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_2+(n-2+3)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+(n+1)\cdot 3)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(4+3n+3)}=\stackrel{r=3}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+3})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(3n+7)}=(1,4,7,10,13,\dots )$

• $\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=3p=2r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_3+(n-3+2)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6+(n-1)\cdot -2)}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-6-2n+2)}=\stackrel{r=-2}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+2})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(-2n-4)}=(-2,-4,-6,-8,-10,\dots )$

• $\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+p})}}=\stackrel{m=4p=1r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_m+(n-m+p)\cdot r)}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_4+(n-4+1)\cdot 0)}=\stackrel{r=0}{\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(a_{n+1})}}=\underset{n=1:1:\mathrm{\infty }}{(6)}=(6,6,6,6,6,\dots )$

Demonstrações para $a_n$, $a_{n-p}$, $a_{n+p}$

$a_{n+p}=a_m+(n-m+p)\cdot r$

Tomando como referência índices quaisquer, por exemplo 2 e 3:

$(\dots ,\underset{a_{-2}}{\underbrace{a_2-4r}},\underset{a_{-1}}{\underbrace{a_2-3r}},\underset{a_0}{\underbrace{a_2-2r}},\underset{a_1}{\underbrace{a_2-r}},a_2,\underset{a_3}{\underbrace{a_2+r}},\underset{a_4}{\underbrace{a_2+2r}},\underset{a_5}{\underbrace{a_2+3r}},\dots ,\underset{a_{n-2}}{\underbrace{a_2+(n-4)\cdot r}},\underset{a_{n-1}}{\underbrace{a_2+(n-3)\cdot r}},\underset{a_n}{\underbrace{a_2+(n-2)\cdot r}},\underset{a_{n+1}}{\underbrace{a_2+(n-1)\cdot r}},\underset{a_{n+2}}{\underbrace{a_2+(n-0)\cdot r}},\dots )$

$(\dots ,\underset{a_{-2}}{\underbrace{a_3-5r}},\underset{a_{-1}}{\underbrace{a_3-4r}},\underset{a_0}{\underbrace{a_3-3r}},\underset{a_1}{\underbrace{a_3-2r}},\underset{a_2}{\underbrace{a_3-r}},a_3,\underset{a_4}{\underbrace{a_3+r}},\underset{a_5}{\underbrace{a_3+2r}},\underset{a_6}{\underbrace{a_3+3r}},\dots ,\underset{a_{n-2}}{\underbrace{a_3+(n-5)\cdot r}},\underset{a_{n-1}}{\underbrace{a_3+(n-4)\cdot r}},\underset{a_n}{\underbrace{a_3+(n-3)\cdot r}},\underset{a_{n+1}}{\underbrace{a_3+(n-2)\cdot r}},\underset{a_{n+2}}{\underbrace{a_3+(n-1)\cdot r}},\dots )$

observe que qualquer que seja o índice tomado como referência, são sempre válidas e dedutíveis as fórmulas:

$$a_n=a_m+(n-m)\cdot r$$

ao passar de $a_m$ para $a_n$, avançamos $(n-m)$ termos, ou seja, basta somar $(n-m)$ vezes a razão ao $m$º termo

Note que:

• $a_9=a_4+5r$, pois, ao passar de $a_4$ para $a_9$, avançamos $5$ termos
• $a_3=a_{15}-12r$, pois retrocedemos 12 termos ao passar de $a_{15}$ para $a_3$

$$a_{n-p}=a_m+(n-(m+p))\cdot r$$

$$a_{n-p}=a_m+(n-m-p)\cdot r$$

$$a_{n+p}=a_m+(n-(m-p))\cdot r$$

$$a_{n+p}=a_m+(n-m+p)\cdot r$$

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

Podemos escrever uma Progressão Aritmética, tomando como referência o $1$º índice:

$(\dots ,\underset{a_{-2}}{\underbrace{a_1-3r}},\underset{a_{-1}}{\underbrace{a_1-2r}},\underset{a_0}{\underbrace{a_1-r}},a_1,\underset{a_2}{\underbrace{a_1+r}},\underset{a_3}{\underbrace{a_1+2r}},\underset{a_4}{\underbrace{a_1+3r}},\dots ,\underset{a_{n-2}}{\underbrace{a_1+(n-3)\cdot r}},\underset{a_{n-1}}{\underbrace{a_1+(n-2)\cdot r}},\underset{a_n}{\underbrace{a_1+(n-1)\cdot r}},\underset{a_{n+1}}{\underbrace{a_1+(n-0)\cdot r}},\underset{a_{n+2}}{\underbrace{a_1+(n+1)\cdot r}},\dots )$

assim obtendo a fórmula para P.A. com referência no $1$º índice:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$$

ao passar de $a_1$ para $a_n$, avançamos $(n-1)$ termos, ou seja, basta somar $(n-1)$ vezes a razão ao $1$º termo.

$a_{n+p}=a_{n-q}+(p+q)r$

Com os índices $n-1$ e $n-2$ como referência:

$$(\dots ,\underset{a_{n-5}}{\underbrace{a_{n-1}-4r}},\underset{a_{n-4}}{\underbrace{a_{n-1}-3r}},\underset{a_{n-3}}{\underbrace{a_{n-1}-2r}},\underset{a_{n-2}}{\underbrace{a_{n-1}-r}},a_{n-1},\underset{a_n}{\underbrace{a_{n-1}+r}},\underset{a_{n+1}}{\underbrace{a_{n-1}+2r}},\underset{a_{n+2}}{\underbrace{a_{n-1}+3r}},\dots )$$

$$(\dots ,\underset{a_{n-6}}{\underbrace{a_{n-2}-4r}},\underset{a_{n-5}}{\underbrace{a_{n-2}-3r}},\underset{a_{n-4}}{\underbrace{a_{n-2}-2r}},\underset{a_{n-3}}{\underbrace{a_{n-2}-r}},a_{n-2},\underset{a_{n-1}}{\underbrace{a_{n-2}+r}},\underset{a_n}{\underbrace{a_{n-2}+2r}},\underset{a_{n+1}}{\underbrace{a_{n-2}+3r}},\dots )$$

deduzindo as fórmulas:

$$a_{n-p}=a_{n-q}-(p-q)r$$

$$a_{n+p}=a_{n-q}+(p+q)r$$

$a_{n+p}=a_{n+q}+(p-q)r$

Com os índices $n+1$ e $n+2$ como referência:

$$(\dots ,\underset{a_{n-3}}{\underbrace{a_{n+1}-4r}},\underset{a_{n-2}}{\underbrace{a_{n+1}-3r}},\underset{a_{n-1}}{\underbrace{a_{n+1}-2r}},\underset{a_n}{\underbrace{a_{n+1}-r}},a_{n+1},\underset{a_{n+2}}{\underbrace{a_{n+1}+r}},\underset{a_{n+3}}{\underbrace{a_{n+1}+2r}},\underset{a_{n+4}}{\underbrace{a_{n+1}+3r}},\dots )$$

$$(\dots ,\underset{a_{n-2}}{\underbrace{a_{n+2}-4r}},\underset{a_{n-1}}{\underbrace{a_{n+2}-3r}},\underset{a_n}{\underbrace{a_{n+2}-2r}},\underset{a_{n+1}}{\underbrace{a_{n+2}-r}},a_{n+2},\underset{a_{n+3}}{\underbrace{a_{n+2}+r}},\underset{a_{n+4}}{\underbrace{a_{n+2}+2r}},\underset{a_{n+5}}{\underbrace{a_{n+2}+3r}},\dots )$$

deduzindo as fórmulas:

$$a_{n-p}=a_{n+q}-(p+q)r$$

$$a_{n+p}=a_{n+q}+(p-q)r$$

$a_{n+p}=a_n+pr$

Com o índice $n$ como referência:

$$(\dots ,\underset{a_{n-3}}{\underbrace{a_n-3r}},\underset{a_{n-2}}{\underbrace{a_n-2r}},\underset{a_{n-1}}{\underbrace{a_n-r}},a_n,\underset{a_{n+1}}{\underbrace{a_n+r}},\underset{a_{n+2}}{\underbrace{a_n+2r}},\underset{a_{n+3}}{\underbrace{a_n+3r}},\dots )$$

deduzindo as fórmulas:

$$a_{n-p}=a_n-pr$$

$$a_{n+p}=a_n+pr$$

Demonstração por indução matemática

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

• Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa $r$ e portanto $a_2=a_1+1\cdot r$

• Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para $n-1$, ou seja, que $a_{n-1}=a_1+(n-2)\cdot r$, resulta que o n-ésimo termo é dado por

$$a_n=a_{n-1}+r=(a_1+(n-2)\cdot r)+r=a_1+(n-2+1)\cdot r=a_1+(n-1)\cdot r$$

Representação por função

Qualquer P.A. pode ser expressa sob a forma de uma função de 1º grau:

$$\underset{x\in Range}{f(x)}=ax+b$$