Geometria e Topologia

Exercícios

1.

Mostre que a esfera $S^2$ menos um ponto é homeomorfa ao plano, o que nos permite então fazer a projeção estereográfica da esfera do plano.

Demonstração

Temos por definição que: $S^2=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3/x^2+y^2+z^2=1\}$

Assim considere $p=(a,b,c)\in S^2$ e defina a reta:

$r:\{(0,0,1)+t*(a,b,c-1)/t\in ℝ\}=\{(ta,tb,1+t(c-1))/t\in ℝ\}$

e o plano:

$\pi :\{(x,y,z)\in {ℝ}^3/z=0\}$

Assim: $r\cap \pi :\{(x,y,z)\in {ℝ}^3/(x,y,z)=(ta,tb,0)\}$

$\begin{array}{cc}1+t(c-1)& =0\\ t(c-1)& =-1\\ t& =\frac{-1}{c-1}\\ t& =\frac{1}{1-c}\end{array}$

Assim

$\begin{array}{cc}\phi :S^2-\{N\}& \mapsto {ℝ}^2\\ (a,b,c)& \mapsto (\frac{a}{1-c},\frac{b}{1-c})\end{array}$

Bem definida

Obervemos que $\phi$ está bem definida pois o ponto $(0,0,1)\in S^2$ que é o único ponto no qual ela não está definida não pertence ao domínio da $\phi .$ Portanto está função está definida em todo o seu domínio.

Injetora

Sejam $p_1=(a_1,b_1,c_1)$ e $p_2=(a_2,b_2,c_2)$ com $p_1\ne p_2$ e $p_1,p_2\in S^2\setminus \{N\}$ assim:

$\phi (p_1)=\phi ((a_1,b_1,c_1))=(\frac{a_1}{1-c_1},\frac{b_1}{1-c_1}).$

$\phi (p_2)=\phi ((a_2,b_2,c_2))=(\frac{a_2}{1-c_2},\frac{b_2}{1-c_2}).$

Portanto, $\phi (p_1)\ne \phi (p_2).$ Logo $\phi$ é injetora.

Sobrejetora

Tome $(x,y,0)\in {ℝ}^2$ e $N=(0,0,1)\in S^2.$ Considere a reta:

$r:\{(0,0,1)+t(x,y,-1)/t\in ℝ\}=\{(tx,ty,1-t)/t\in ℝ\}$

$\mathrm{\exists }!$ ponto $p$ tal que $r\cap S^2=\{p\}$

$\begin{array}{cc}{t}^2{x}^2+t^2{y}^2+(1-t{)}^2& =1\\ t^2{x}^2+t^2{y}^2+t^2-2t& =0\\ t^2*(x^2+y^2+1)-2t& =0\\ t& =0\\ t*(x^2+y^2+1)-2& =0\\ t& =\frac{2}{x^2+y^2+1}\end{array}$

Logo o ponto $p$ que existe é da forma:

$p=(\frac{2x}{x^2+y^2+1},\frac{2y}{x^2+y^2+1},\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1})$

É facilmente verificável que $p\in S^2,$ ou seja, $|p|=1.$

Assim concluímos que $\phi$ é sobrejetora e podemos definir:

$\begin{array}{cc}{\phi }^{-1}:{ℝ}^2& \mapsto S^2\setminus \{N\}\\ (x,y)& \mapsto (\frac{2x}{x^2+y^2+1},\frac{2y}{x^2+y^2+1},\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1})\end{array}$

Observe que ${\phi }^{-1}(x,y)\ne (0,0,1);\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^2.$

Mostrar que, $(\phi \circ {\phi }^{-1})(p)=({\phi }^{-1}\circ \phi )(p)=p.$

$\begin{array}{cc}{\phi }^{-1}(p)& =(\frac{2x}{x^2+y^2+1},\frac{2y}{x^2+y^2+1},\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1})\\ \phi ({\phi }^{-1}(p))& =(\frac{2x}{x^2+y^2+1}*\frac{x^2+y^2+1}{2},\frac{2y}{x^2+y^2+1}*\frac{x^2+y^2+1}{2})\\ & =(x,y)\end{array}$

Analogamente, mostra-se que $({\phi }^{-1}\circ \phi )(p)=p.$

Portanto ${\phi }^{-1}$ é a inversa de $\phi .$

Continuidade

Como $\phi$ e ${\phi }^{-1}$ possui todas as funções coordenadas contínuas, já que são compostas de funções polinomiais, temos que ambas são contínuas, e portanto $\phi$ é um homeomorfismo.