CCT-UFCA/Ciência da Computação/Álgebra Linear/Álgebra Matricial

Operações com Matrizes

Adição de matrizes:

Duas matrizes 𝐴 e 𝐵 podem ser somadas se e somente se tiverem as mesmas dimensões. A soma 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 é calculada adicionando-se elemento a elemento.

Exemplo: Se $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\text{e B}=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)\text{, então}$ $C=A+B=\left(\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right)$

Subtração de Matrizes:

Similar à adição, as matrizes 𝐴 e 𝐵 devem ter as mesmas dimensões. A subtração 𝐶 = 𝐴 − 𝐵 é calculada subtraindo-se elemento a elemento.

$A=\left(\begin{array}{cc}9& 8\\ 7& 6\end{array}\right)\text{e B}=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 3& 2\end{array}\right)\text{, então}$ $C=A+B=\left(\begin{array}{cc}9-5& 8-4\\ 7-3& 6-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$

Multiplicação por Escalar:

A multiplicação de uma matriz 𝐴 por um escalar 𝑘 resulta em uma matriz 𝐵 onde cada elemento de 𝐴 é multiplicado por 𝑘.

Exemplo: Se $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\text{e B}=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right)\text{, então}$ $C=AB=\left(\begin{array}{cc}1*2+2*1& 1*0+2*2\\ 3*2+4*1& 3*0+4*2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 10& 8\end{array}\right)$

Tipos de Matrizes

Matriz Identidade:

Uma matriz identidade 𝐼_𝑛 é uma matriz quadrada 𝑛×𝑛 com 1's na diagonal principal e 0's em todos os outros elementos.

Exemplo: A matriz identidade de ordem 3 é: $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Matriz Diagonal:

Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero.

Exemplo: $D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

Matriz Transposta:

A transposta de uma matriz 𝐴, denotada por 𝐴^𝑇, é obtida trocando-se as linhas pelas colunas de 𝐴.

Exemplo: Se $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\text{, então }{A}^T=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)$

Matriz Simétrica:

Uma matriz 𝐴 é simétrica se 𝐴 = 𝐴^𝑇, ou seja, se for igual à sua transposta.

Exemplo: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right)$

Propriedades das Matrizes

Associatividade da Multiplicação:

Para quaisquer matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 onde os produtos são definidos, vale que (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶).

Distribuição da Multiplicação sobre a Adição:

Para quaisquer matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 de mesmas dimensões, vale que 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 e (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶.

Elemento Neutro da Multiplicação:

A matriz identidade 𝐼 satisfaz 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 para qualquer matriz 𝐴 compatível.

Referências

1. https://www.todamateria.com.br/matrizes/
2. https://guiadoestudante.abril.com.br/estudo/matrizes-algebra-linear/