Processos Estocásticos

Introdução

Imagine um bêbado, que após muito caminhar consegue enxergar sua casa. Supondo que o caminho esteja desimpedido, o instinto o levará a tentar caminhar em linha reta; A questão é que a bebida não permite. Se traçarmos um sistema cartesiano de modo que o bêbado esteja na origem e a casa em algum ponto do eixo das ordenadas, o bêbado é uma partícula caminhando para cima, pois a linha reta é o caminho mais curto; porém, o vetor deslocamento não coincide com o vetor $(0,1)$, pois o bêbado cambaleia para a direita ou esquerda aleatoriamente, fazendo com que a posição no bêbado no instante $t$ seja $(x_t,t)$, supondo velocidade constante no eixo das ordenadas, onde $x_t$ é um valor aleatório.

A sequência de valores $x_t$ e suas variáveis aleatórias associadas $X_t$ recebem o nome de cadeia, um caso especial de processo estocástico. Tipicamente, estudamos apenas sistemas markovianos, sistemas onde

$P(X_t=x_t|\mathbb{P})=P(X_t=x_t|X_{t-1}=x_{t-1})$

onde $P(A|B)$ é a probabilidade do evento $A$ ocorrer dado que o evento $B$ ocorreu e $\mathbb{P}$ são as posições anteriores do bêbado. Esta relação de probabilidades quer dizer que a única informação que pode nos ajudar a prever onde o bêbado estará no próximo instante de tempo é a posição do bêbado no momento atual, sendo que a trajetória anterior, velocidade resultante, etc... não nos fornecem nenhuma informação extra.

Em muitas análises físicas estudamos sistemas complexos de um ponto de vista macroscópico, por exemplo, o movimento browniano é definido pela temperatura de cada patícula do sistema, mas não temos como mensurar tal temperatura. Sob suposições gerais, tais sistemas comportam-se como nosso bêbado do exemplo acima; podemos estimar apenas a probabilidade de mudança de estado do sistema.

Objetivo e Pré-Requisitos

O principal lucro do estudo formal de Processos Estocásticos é a aquisição de um liguajar universal para a descrição de problemas envolvendo probabilidade e este é o objetivo deste curso, mas para formalizar apropriadamente os conceitos noções de probabilidade (tanto baseada em Teoria da Medida quanto em Combinatória) são estritamente necessárias.

Definição Matemática Formal

Um processo estocástico é uma sequência de variáveis aleatórias indexadas no tempo com uma estrutura de correlação bem definida. Em outros pontos de vista, um processo estocástico é uma sequência de funções mensuráveis, ou seja, uma variável aleatória $X$ definida num espaço de probabilidade $(\mathrm{\Omega },P)$ que toma valores num espaço de funções $F$.

Um caso notável são as cadeias, sequências de variáveis aleatórias $X_t$ com o tempo $t$ sendo considerado discreto.
A completar.

Cadeias de Markov

A fazer.

Passeio Aleatório

A fazer.

Movimento Browniano

A fazer.

Cadeia de Ehrenfest e o Sistema de Gases de Boltzmann

Quando Boltzmann sugeriu seu modelo de gases Poincaré retrucou dizendo que neste modelo, após um tempo suficientemente grande, uma configuração inicial volta arbitrariamente próximo à configuração inicial. O modelo da Urna de Ehrenfest serviu para estimar o tempo gasto para que a configuração voltasse à configuração inicial, e foi possível concluir que demoraria mais do que a idade do universo, e portanto o modelo de Boltzmann foi aceito.

Considere que você tem duas urnas, uma contendo $k$ bolas e a outra contendo $N-k$ bolas. A idéia é a seguinte: Fixe uma urna. Considere uma configuração inicial $X_0$, e considere variáveis aleatórias i.i.d. $U_1,\dots ,U_t,\dots$, de tal forma que $U_i$ é uma uniforme discreta no conjunto $\{1,\dots ,N\}$

Agora considere $X_{t+1}$ como sendo: $X_{t+1}=X_t+1$, se $U_t>X_t$ e $X_{t+1}=X_t-1$, se $U_t\le X_t$.

De fato, $X_t$ vai dizer a quantidade de bolas que tem em cada urna. $X_t$ é claramente uma variável aleatória. Agora precisamos saber em quais $\sigma$-álgebras estamos trabalhando. Então podemos dizer que ${\varphi G}_0=\sigma (X_0)$, e que $\varphi G_t=\sigma (X_0,U_1,\dots ,U_{t-1})$.

Exercício 1: Mostre que $X_t$ é mensurável com relação a $\varphi G_t$.

Exercício 2: Mostre que $X_t,t\in \mathbb{N}$ é um processo de markov e escreva quem é seu núcleo (neste caso o processo é homogêneo), i.e., mostre que

$P(X_{t+1}\in B\mid {\varphi G}_t)=P(X_{t+1}\in B\mid X_t)$

e descubra a função $K$ tal que

$P(X_{t+1}\in B\mid X_t=x)=K(x,B)$.
A formatar/completar.

Ruína do Jogador

A fazer.

Autômatos Celulares

Um autômato é uma máquina que recebe dados sob a forma de uma cadeia finita de símbolos de um alfabeto; Inicialmente, ele está numa configuração ou estado qualquer, e a cada símbolo lido ele muda de estada segundo uma regra determinística pré-fixada. Um exemplo de nenhuma utilidade mas que ilustra o que queremos dizer com estado é o seguinte: Temos um pequeno relógio, que inicialmente tem os dois ponteiros apontados para cima. O relógio recebe através de uma fita em sua parte superior símbolos pertencentes ao alfabeto $\{-1,1\}$. Quando recebe o símbolo $-1$, o ponteiro pequeno anda uma casa para esquerda, representando uma mudança de estado. Quando recebe o símbolo $1$, o ponteiro grande anda uma casa para a direita, representando uma outra mudança de estado. O conjunto de todos os possíveis estados é o conjunto de todas as possíveis combinações de posições do ponteiro pequeno e no ponteiro grande. Autômatos são ditos finitos se seu espaço de estado é finito. No caso do relógio acima, temos um autômato com $12x12=144$ estados, pois cada possível configuração dos ponteiros é um estado.

Imagine agora um conjunto de autômatos arranjados de forma que podemos definir a vizinhança de um autômato, ou seja, dado um autômato qualquer temos um conjunto bem-definido de vizinhos para ele; Em cada instante de tempo, o input de cada autômato é o conjunto de estados de seus vizinhos. Este conjunto de autômatos e sua regra de vizinhança é chamado de autômato celular.

Físicos mais tradicionais vão reconhecer autômatos como variações do Modelo de Ising.

A completar.

Exemplo de Autômato Celular: Jogo da Vida de Conway

Este exemplo é tradicional em todo curso onde se utilizam autômatos celulares, mas atualmente sua relevância resume-se a exercícios de programação.

No jogo da vida, temos uma grade de células quadradas se estendendo infinitamente em cada direção. Cada célula representa um ser, que pode estar vivo ou morto, e dizemos que a célula a é vizinha da célula b se existe um vértice que pertence tanto a a quanto a b. Se em um instante de tempo uma célula (ou a entidade que ela representa) está viva, três coisas podem ocorrer:

• Se menos de dois vizinhos estão vivos, no próximo instante de tempo a célula morre
• Se mais de três vizinhos estão vivos, no próximo instante de tempo a célula morre sufocada
• Caso contrário, a célula permanece viva

Se em um instante de tempo uma célula está morta, três coisas podem ocorrer:

• Se exatamente três vizinhos estão vivos, ela se torna viva no próximo instante de tempo
• Caso contrário, a célula permanece morta

A completar.

Autômatos Celulares com Ruído Aleatório

A fazer.

Autômatos Celulares Probabilísticos

A fazer.

Inferência em Processos Estocásticos

A fazer.