CCT-UFCA/Ciência da Computação/Álgebra Linear/Álgebra Matricial
Operações com Matrizes
Adição de matrizes:
Duas matrizes 𝐴 e 𝐵 podem ser somadas se e somente se tiverem as mesmas dimensões. A soma 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 é calculada adicionando-se elemento a elemento.
Exemplo: Se
Subtração de Matrizes:
Similar à adição, as matrizes 𝐴 e 𝐵 devem ter as mesmas dimensões. A subtração 𝐶 = 𝐴 − 𝐵 é calculada subtraindo-se elemento a elemento.
Multiplicação por Escalar:
A multiplicação de uma matriz 𝐴 por um escalar 𝑘 resulta em uma matriz 𝐵 onde cada elemento de 𝐴 é multiplicado por 𝑘.
Exemplo: Se
Tipos de Matrizes
Matriz Identidade:
Uma matriz identidade 𝐼𝑛 é uma matriz quadrada 𝑛×𝑛 com 1's na diagonal principal e 0's em todos os outros elementos.
Exemplo: A matriz identidade de ordem 3 é:
Matriz Diagonal:
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero.
Exemplo:
Matriz Transposta:
A transposta de uma matriz 𝐴, denotada por 𝐴𝑇, é obtida trocando-se as linhas pelas colunas de 𝐴.
Exemplo: Se
Matriz Simétrica:
Uma matriz 𝐴 é simétrica se 𝐴 = 𝐴𝑇, ou seja, se for igual à sua transposta.
Exemplo:
Propriedades das Matrizes
Associatividade da Multiplicação:
Para quaisquer matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 onde os produtos são definidos, vale que (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶).
Distribuição da Multiplicação sobre a Adição:
Para quaisquer matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 de mesmas dimensões, vale que 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 e (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶.
Elemento Neutro da Multiplicação:
A matriz identidade 𝐼 satisfaz 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 para qualquer matriz 𝐴 compatível.