Campo elétrico

Força e carga elétrica

Se definimos a força $F$ entre duas cargas $Q_1$ e $Q_2$, separadas por uma distância $d$, então: $F=k\frac{Q_1{Q}_2}{d^2}$ Onde a força é expressa em Newtons (N).

Dado um sistema de coordenadas onde $r_1$ é o vetor de posição absoluta da carga $Q_1$, e $r_2$ o vetor de posição absoluta da carga $Q_2$, podemos expressar a força de forma vetorial:

$\overrightarrow{F}=k\frac{Q_1{Q}_2}{d^2}{\overrightarrow{u}}_{Q_1-Q_2}$

${\overrightarrow{u}}_{Q_1-Q_2}$ é um vetor unitário que atravessa as cargas $Q_1$ e $Q_2$ no sentido indicado pela lei de Coulomb, mas levando em consideração o princípio de ação e reação de Newton.

Para calcular diretamente as forças que atuam sobre cada partícula:

${\overrightarrow{F}}_A=k\frac{Q_1{Q}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2{|}^3}({\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2)$

${\overrightarrow{F}}_B=k\frac{Q_1{Q}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2{|}^3}({\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1)$

Definição de campo elétrico

O campo elétrico é uma abstração para entender o que as forças agem sobre uma partícula $Q_P$ sujeito à interação de um conjunto de n cargas $\sum _{i=1}^n{Q}_i$.

A força $\overrightarrow{F}$ que atua sobre uma partícula $Q_P$ submetida a um campo elétrico $\overrightarrow{E}$ é calculada como:

$\overrightarrow{F}=Q_P\overrightarrow{E}$

De quem é a unidade $\frac{N}{C}$. Para o módulo de vetor de campo $\overrightarrow{E}$ que atua em um ponto específico do espaço é conhecido como força de campo elétrico.

A expressão de campo elétrico produzida por um conjunto de$n$ cargas $Q_i$ sobre um ponto $P$ seria:

$k\sum _{i=1}^n\frac{Q_i({\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_i)}{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_i{|}^3}$

Campo elétrico e distribuição espacial da carga

Dependendo de como a carga é distribuída no espaço, podemos encontrar diferentes expressões de campo elétrico.

Distribuição ao longo de uma linha de espessura insignificante

A densidade linear da carga Q uniformemente distribuída em uma linha de espessura insignificante é definida como: $\lambda =\frac{dQ}{dL}$

Sendo capaz de encontrar em ocasiões como:

$\lambda =\frac{Q}{L}$

Distribuição ao longo de uma superfície de espessura insignificante

A densidade superficial da carga Q distribuída uniformemente em uma superfície S de espessura insignificante é definida como: $\sigma =\frac{dQ}{dS}$

Sendo capaz de encontrar em ocasiões como:

$\sigma =\frac{Q}{S}$

Distribuição ao longo de um volume

A densidade volumétrica da carga Q distribuída uniformemente em um volume V é definida como: $\rho =\frac{dQ}{dV}$

Sendo capaz de encontrar em ocasiões como:

$\rho =\frac{Q}{V}$

Campo elétrico produzido por uma distribuição uniforme de carga em um volume

A partir das expressões anteriores, podemos calcular o campo que produz uma carga Q distribuída uniformemente em um volume V.

Se nós definimos $\rho$ como:

$\rho =\frac{dQ}{dV}$

Nós expressamos Q com base em $\rho$ como:

$dQ=\rho dV$

$Q=\underset{V}{\int }\rho dV$

Depois disso, o campo elétrico ${\overrightarrow{E}}_P$ em um ponto dado pelo vetor ${\overrightarrow{r}}_P$ é definido como:

${\overrightarrow{E}}_P=k\underset{V}{\int }\frac{\rho dV}{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^2}({\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho })$

$k\underset{V}{\int }\frac{\rho dV}{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^2}({\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho })=k\underset{V}{\int }\frac{\rho }{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^3}{\overrightarrow{r}}_{P}dV-k\underset{V}{\int }\frac{\rho }{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^3}{\overrightarrow{r}}_{\rho }dV$

Como $k\underset{V}{\int }\frac{\rho }{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^3}{\overrightarrow{r}}_{\rho }dV$ Representa um vetor nulo $\underset{V}{\int }{\overrightarrow{r}}_{P}dV$ não afeta a expressão de campo: ${\overrightarrow{E}}_P=-k\underset{V}{\int }\frac{\rho }{|{\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_{\rho }{|}^3}{\overrightarrow{r}}_{\rho }dV$

Fluxo elétrico

O fluxo elétrico $\varphi$ é a quantidade de campo elétrico E que invade uma superfície S com uma área A.

Sua expressão mais geral é escrita como: $\varphi =EAcos\theta =\overrightarrow{E}o\overrightarrow{A}$ E é expresso em $\frac{N{m}^2}{C}$ o que equivale a um Volt por metro $Vm$.

Expressão geral do fluxo elétrico através de qualquer superfície

Uma vez que em uma superfície irregular o fluxo varia tanto em intensidade quanto no vetor que se forma com o normal da superfície, definimos: $d\varphi =EdAcos\theta =\overrightarrow{E}od\overrightarrow{A}$

$\varphi =\underset{S}{\int }\overrightarrow{E}od\overrightarrow{A}$

Agora considere o caso do fluxo elétrico ${\varphi }_C$ de uma superfície fechada. Se usarmos o símbolo $\oint$ Para se referir à integral de uma superfície fechada, a expressão do fluxo elétrico que atravessa essa superfície é determinada por: ${\varphi }_C={\oint }_S\overrightarrow{E}od\overrightarrow{A}={\oint }_S{E}_{n}od\overrightarrow{A}$ sendo $E_n$ um componente normal ($\approx$ perpendicular) à superfície fechada.

Lei de Gauss

Se em uma superfície fechada sem carga o fluxo total que o cruza é nulo, a lei de Gauss estabelece a relação que existe entre o fluxo elétrico líquido que atravessa uma superfície com uma carga $Q_{i}nt$ em seu interior.

Definição

${\mathrm{\Phi }}_C=\oint \overrightarrow{E}od\overrightarrow{A}=\frac{Q_{int}}{{ϵ}_0}$

Sendo $\overrightarrow{E}$ o campo elétrico criado por $Q_{i}nt$ e o resto dos campos que atravessam a superfície. Pode ser usado na direção oposta para calcular o campo elétrico que cria qualquer distribuição de cargas; embora, por conveniência, geralmente seja feito em casos elementares.

Demonstração

Começa a partir de uma esfera oca de raio $r$ e espessura insignificante com uma carga de ponto $Q_{i}nt$ localizada no centro. De acordo com a lei de Coulomb, o campo elétrico em qualquer ponto da superfície é:

$E=k\frac{q}{r^2}$

O fluxo através da esfera é o seguinte: ${\mathrm{\Phi }}_C=\oint E_{n}d\overrightarrow{A}=E\oint d\overrightarrow{A}=\frac{kq}{r^2}$ Se substituímos a expressão do campo elétrico e consideramos que o raio de uma esfera é $4\pi r^2$ nós conseguimos:

${\mathrm{\Phi }}_C=\frac{kq}{r^2}(4\pi r^2)=4\pi kq($

E se considerarmos o valor da constante k ($k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$):

${\mathrm{\Phi }}_C=\frac{q}{{ϵ}_0}$