Introdução aos Circuitos Elétricos/Transformações

Transformações com Números Complexos

Transformação da Forma Algébrica em Polar

Na representação acima, observamos um triângulo retângulo. Então, através do Teorema de Pitágoras, temos:

$Z^2=a^2+b^2\Rightarrow Z=\sqrt{a^2+b^2}$

E, através do arco-tangente de $\frac{\mid b\mid }{\mid a\mid }$, achamos o ângulo $\mathrm{\Phi }$:

$\tan \mathrm{\Phi }=\frac{\mid b\mid }{\mid a\mid }\Rightarrow \mathrm{\Phi }=\arctan \frac{\mid b\mid }{\mid a\mid }$

O valor de $\mathrm{\Phi }$ deve ser ajustado de acordo com os sinais de a e de b (que indicam o quadrante, no sistema cartesiano, em que se encontra o segmento Z já que o arco-tangente calculado mostra sempre o ângulo no primeiro quadrante).

Resumindo: para transformarmos $z=a+j\cdot b$ em $\begin{array}{c}Z\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }\end{array}$ usamos as seguintes fórmulas:

$Z=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\Phi }=\arctan \frac{\mid b\mid }{\mid a\mid }$

E achamos o quadrante do ângulo, confirmando o valor de $\mathrm{\Phi }$.

Exercícios Resolvidos

A FAZER

Transformação da Forma Polar em Algébrica

Para transformarmos $\begin{array}{c}Z\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }\end{array}$ (forma polar) em $z=a+j\cdot b$ (forma algébrica ou cartesiana) usamos a forma trigonométrica de um número complexo, como explicado na página anterior:

$z=Z\cdot (\cos \mathrm{\Phi }+j\cdot \sin \mathrm{\Phi })$

Exercícios Resolvidos

Transformar os seguintes números complexos para a forma algébrica:

a) $z_1=\begin{array}{c}12\end{array}\begin{array}{c}45^o\end{array}$

$z=Z\cdot (\cos \mathrm{\Phi }+j\cdot \sin \mathrm{\Phi })\Rightarrow$

$\Rightarrow z_1=12\cdot (\cos 45^o+j\cdot \sin 45^o)\Rightarrow$

$\Rightarrow z_1=12\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+j\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\Rightarrow$

$\Rightarrow z_1=6\cdot \sqrt{2}+j\cdot 6\cdot \sqrt{2}$

b) $z_2=\begin{array}{c}12\end{array}\begin{array}{c}-315^o\end{array}$

$\Rightarrow z_2=12\cdot (\cos -315^o+j\cdot \sin -315^o)\Rightarrow$

$\Rightarrow z_2=12\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+j\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\Rightarrow$

$\Rightarrow z_2=6\cdot \sqrt{2}+j\cdot 6\cdot \sqrt{2}$

c) $z_3=\begin{array}{c}12\end{array}\begin{array}{c}-45^o\end{array}$

$z=Z\cdot (\cos \mathrm{\Phi }+j\cdot \sin \mathrm{\Phi })\Rightarrow$

$\Rightarrow z_3=12\cdot (\cos -45^o+j\cdot \sin -45^o)\Rightarrow$

$\Rightarrow z_3=12\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+j\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2})\Rightarrow$

$\Rightarrow z_3=6\cdot \sqrt{2}-j\cdot 6\cdot \sqrt{2}$

d) $z_4=\begin{array}{c}20\end{array}\begin{array}{c}90^o\end{array}$

A FAZER

FAZER COMPROVAÇÃO GRÁFICA

e) $z_5=\begin{array}{c}16\end{array}\begin{array}{c}225^o\end{array}$

A FAZER

FAZER COMPROVAÇÃO GRÁFICA

Lista B de Exercícios

Exercício 1

Transforme para a forma polar:

A FAZER

Exercício 2

Transforme para a forma cartesiana (algébrica):

a) $z_1=\begin{array}{c}10\end{array}\begin{array}{c}{0}^o\end{array}$

b) $z_2=\begin{array}{c}10\end{array}\begin{array}{c}90^o\end{array}$

c) $z_3=\begin{array}{c}10\end{array}\begin{array}{c}180^o\end{array}$

d) $z_4=\begin{array}{c}10\end{array}\begin{array}{c}270^o\end{array}$

e) $z_5=\begin{array}{c}10\end{array}\begin{array}{c}-90^o\end{array}$

f) $z_6=\begin{array}{c}10\end{array}\begin{array}{c}45^o\end{array}$

g) $z_7=\begin{array}{c}20\end{array}\begin{array}{c}\frac{\pi }{4}\end{array}$

h) $z_8=\begin{array}{c}15\end{array}\begin{array}{c}\frac{5\cdot \pi }{4}\end{array}$