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Frações

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como $\frac{a}{b}$, designa este número $a$ dividido em $b$ partes iguais. Neste caso, $a$ corresponde ao numerador, enquanto $b$ corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas. Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4=$\frac{3}{4}$ da folha, ou seja você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração $\frac{56}{8}$ designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de [[../Números racionais|números racionais]]. O conjunto dos racionais é representado por $\mathbb{Q}$. Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

Tipos de Frações

• própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: $\frac{1}{2}$

• imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: $\frac{7}{3}$

• mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2\frac{1}{3}$.Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: $3\frac{1}{2}$ 2x3=6 6+1=7 (7=numerador/2=denominador)e assim por diante repetindo o denominador

• aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Ex.: $\frac{4}{4}$

• equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: $\frac{4}{4}=\frac{2}{2}$ 4 e 4 dividos por 2(ou outro número) é igual a 2.

• irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: $\frac{9}{22}$

• unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: $\frac{1}{3}$

• egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}=\frac{3}{5}$

• decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: $\frac{437}{100}$

• composta: fração cujo numerador e denominador são frações: $\frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}$

• contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_k,...)$ da seguinte maneira $a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}$

Exponenciação ou Potenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}=0,25$

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=(0,5{)}^2=0,25$

Radiciação

A raiz de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

$\sqrt[2]{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt[2]{1}}{\sqrt[2]{4}}=\frac{1}{2}=0,5$

Expoente fracionário

Da mesma forma que na ,divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

$8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$

ou pode ser feita assim Fração#Divis.c3.A3o/Multiplicação

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

$\frac{4}{8}$

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

$\frac{4:4}{8:4}=\frac{1}{2}$

Comparação entre frações

Uma propriedade importante para se comparar frações é a seguinte:

Se $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ são frações irredutíveis, com a, b, c e d inteiros positivos, então $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟹a=c\wedge b=d$.

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

$\frac{2}{5}$   ?   $\frac{3}{7}$

O MMC entre 5 e 7 é 35.

$\frac{35}{5}=7$   ∴   $7\times 2=14$

$\frac{35}{7}=5$   ∴   $5\times 3=15$

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

$\frac{14}{35}=\frac{2}{5}$   e   $\frac{15}{35}=\frac{3}{7}$

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

$\frac{14}{35}$ < $\frac{15}{35}$ logo $\frac{2}{5}$ < $\frac{3}{7}$

Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

$\frac{7}{3}$

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O resto será o numerador da fração mista e o divisor será o denominador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

$2\frac{1}{3}$

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.