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== Definição e classificação ==

=== Definição de Integrais Impróprias: ===
As integrais impróprias ocorrem quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função a ser integrada possui descontinuidades no intervalo.

Existem dois tipos principais de integrais impróprias:

'''Integrais com limites de integração infinitos:'''
 Exemplo: <math>\int\limits_{1}^{\infty} {1 \over x^2} dx</math>
'''Integrais com descontinuidade no intervalo de integração:'''
 Exemplo: <math>\int\limits_{0}^{1 } {1 \over \sqrt{x } } dx  </math>

== Critérios de convergência ==

=== Convergência de Integrais com Limites Infinitos: ===
Para verificar a convergência de uma integral imprópria com limite infinito, substituímos o limite infinito por uma variável '''𝑏''' e tomamos o limite quando '''𝑏''' tende ao infinito: <math>\int\limits_{a}^{\infty}  f(x)  dx  =   \lim_{b \to \infty}  \int\limits_{a}^{b}  f(x)  dx</math>
 Exemplo: Verificar a convergência de : <math>\int\limits_{1  }^{\infin } {1 \over x^2 } dx  </math>

 <math>\int\limits_{1  }^{\infin } {1 \over x^2 } dx = \lim_{b \to \infin} \int\limits_{1  }^{b } {1 \over x^2 } dx  </math>

 Calculando a integral: <math>\int {1 \over x^2 } dx = -{1 \over x }  </math>

 Avaliando o limite: <math>\lim_{b \to \infin} \Bigl(- {1 \over b} + {1 \over 1} \Bigr) = 1  </math>

 Portanto, a integral converge para '''1'''.

=== Convergência de Integrais com Descontinuidade: ===
Para verificar a convergência de uma integral imprópria com descontinuidade, dividimos o intervalo em partes que evitem a descontinuidade e tomamos o limite apropriado.

<math>\int f(x) dx  </math> onde '''𝑓(𝑥)''' é descontínua em '''𝑐''' tal que '''𝑎''' '''< 𝑐 < 𝑏 = <math>\int\limits_{a}^{c - \epsilon}  f(x)  dx  +   \int\limits_{c + \epsilon}^{b}  f(x)  dx</math>'''

e depois tomamos o limite quando '''𝜖''' '''→ 0'''
 Exemplo'':'' Verificar a convergência de <math>\int\limits_{0}^{1 } {1 \over \sqrt{x } } dx</math>:

 <math>\int\limits_{0}^{1 } {1 \over \sqrt{x } } dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int\limits_{\epsilon}^{1 } {1 \over \sqrt{x } } dx</math>

 Calculando a integral: <math>\int {1 \over \sqrt{x } } dx = 2\sqrt{x }</math>

 Avaliando o limite: <math>\lim_{\epsilon \to 0^+} (2\sqrt{1} - 2\sqrt{\epsilon}) = 2-0=2  </math>

 Portanto, a integral converge para '''2'''.

== Cálculo de integrais impróprias ==

=== Integrais com Limites Infinitos: ===
 Exemplo: Calcular <math>\int\limits_{2}^{\infty } {1 \over x^3  } dx</math>

 <math>\int\limits_{2}^{\infty } {1 \over x^3  } dx = \lim_{b \to \infty} \int\limits_{2}^{b } {1 \over x^3  } dx </math>

 Calculando a integral: <math>\int   {1 \over x^3  } dx = - {1 \over 2x^2  }</math>

 Avaliando o limite: <math>\lim_{b \to \infin} \Bigl(- {1 \over 2b^2} + {1 \over 2 * 2^2} \Bigr) = 0 + {1 \over 8} = {1 \over 8}</math>

 Portanto, a integral converge para <math>{1 \over 8}  </math>.

=== Integrais com Descontinuidade: ===
 Exemplo: Calcular <math>\int\limits_{1}^{2 } {1 \over (x- 1)^{ 2/3 }  } dx</math>:

 <math>\int\limits_{1}^{2 } {1 \over (x- 1)^{ 2/3 }  } dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int\limits_{1+\epsilon}^{2 } {1 \over (x- 1)^{ 2/3 }  } dx</math>

 Calculando a integral: <math>\int {1 \over (x- 1)^{ 2/3 }  } dx = \int {(x- 1)^{ - 2/3 }  } dx = { (x- 1)^ { 1/3 } \over 1/3  } = 3(x-1)^{1/3 }</math>

 Avaliando o limite: <math>\lim_{\epsilon \to 0^+} \left[ 3(x - 1)^{1/3} \right]{1 + \epsilon}^{2} = \lim{\epsilon \to 0^+} \left( 3(2 - 1)^{1/3} - 3\epsilon^{1/3} \right) = 3 - 0 = 3</math>

 Portanto, a integral converge para '''3'''.

== Referências ==

# https://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html
# https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ImproperIntegrals.aspx
# https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/part_b07.pdf