CCT-UFCA/Ciência da Computação/Cálculo Diferencial e Integral II/Integrais Impróprias

Definição e classificação

Definição de Integrais Impróprias:

As integrais impróprias ocorrem quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função a ser integrada possui descontinuidades no intervalo.

Existem dois tipos principais de integrais impróprias:

Integrais com limites de integração infinitos:

Exemplo: $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}dx$

Integrais com descontinuidade no intervalo de integração:

Exemplo: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Critérios de convergência

Convergência de Integrais com Limites Infinitos:

Para verificar a convergência de uma integral imprópria com limite infinito, substituímos o limite infinito por uma variável 𝑏 e tomamos o limite quando 𝑏 tende ao infinito: $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Exemplo: Verificar a convergência de : $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}dx$

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x^2}dx$

Calculando a integral: $\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}$

Avaliando o limite: $\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{b}+\frac{1}{1})=1$

Portanto, a integral converge para 1.

Convergência de Integrais com Descontinuidade:

Para verificar a convergência de uma integral imprópria com descontinuidade, dividimos o intervalo em partes que evitem a descontinuidade e tomamos o limite apropriado.

$\int f(x)dx$ onde 𝑓(𝑥) é descontínua em 𝑐 tal que 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 = $\underset{a}{\overset{c-ϵ}{\int }}f(x)dx+\underset{c+ϵ}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

e depois tomamos o limite quando 𝜖 → 0

Exemplo: Verificar a convergência de $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{ϵ}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Calculando a integral: $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}$

Avaliando o limite: $\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }(2\sqrt{1}-2\sqrt{ϵ})=2-0=2$

Portanto, a integral converge para 2.

Cálculo de integrais impróprias

Integrais com Limites Infinitos:

Exemplo: Calcular $\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^3}dx$

$\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^3}dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{2}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x^3}dx$

Calculando a integral: $\int \frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2x^2}$

Avaliando o limite: $\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2*2^2})=0+\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$

Portanto, a integral converge para $\frac{1}{8}$.

Integrais com Descontinuidade:

Exemplo: Calcular $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{(x-1{)}^{2/3}}dx$:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{(x-1{)}^{2/3}}dx=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{1+ϵ}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{(x-1{)}^{2/3}}dx$

Calculando a integral: $\int \frac{1}{(x-1{)}^{2/3}}dx=\int (x-1{)}^{-2/3}dx=\frac{(x-1{)}^{1/3}}{1/3}=3(x-1{)}^{1/3}$

Avaliando o limite: $\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }[3(x-1{)}^{1/3}]{1+ϵ}^2=\lim ϵ\to 0^{+}(3(2-1{)}^{1/3}-3{ϵ}^{1/3})=3-0=3$

Portanto, a integral converge para 3.

Referências

1. https://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html
2. https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ImproperIntegrals.aspx
3. https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/part_b07.pdf