CCT-UFCA/Ciência da Computação/Álgebra Linear/Espaços Vetoriais e Equações Lineares

Definição de Espaços Vetoriais

Um espaço vetorial 𝑉 sobre um corpo 𝐹 (geralmente o corpo dos números reais 𝑅 ou complexos 𝐶) é um conjunto de objetos chamados vetores, juntamente com duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares, que satisfazem oito axiomas (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro da adição, elemento inverso da adição, associatividade da multiplicação por escalar, elemento neutro da multiplicação por escalar e distributividade).

Exemplo: O conjunto de todos os pares ordenados de números reais 𝑅2 é um espaço vetorial.

Subespaços, Bases e Dimensão

Subespaços:

Um subespaço 𝑊 de um espaço vetorial 𝑉 é um subconjunto de 𝑉 que é, por si só, um espaço vetorial com as mesmas operações de adição e multiplicação por escalar.

Exemplo: O conjunto de todos os vetores da forma (𝑥,0) em 𝑅2 é um subespaço de 𝑅2.

Bases:

Um conjunto de vetores {𝑣₁,𝑣₂,…,𝑣_𝑛} em um espaço vetorial 𝑉 é uma base de 𝑉 se os vetores são linearmente independentes e geram 𝑉.

Exemplo: Os vetores 𝑒1 = (1,0) e 𝑒2 = (0,1) formam uma base para 𝑅2.

Dimensão:

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base para esse espaço.

Exemplo: A dimensão de 𝑅2 é 2 porque qualquer base desse espaço contém exatamente 2 vetores.

Sistemas de Equações Lineares:

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo:

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1-a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

Métodos de Resolução de Sistemas Lineares

Eliminação de Gauss:

Método de resolução que transforma o sistema em uma forma escalonada por meio de operações elementares de linha.

Exemplo: Resolver o sistema $\{\begin{array}{c}x+y+z=6\\ 2y-5z=4\\ 2x+5y-z=27\end{array}$

Primeiro, construímos a matriz aumentada do sistema: $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 2& 5& -4\\ 2& 5& -1& 27\end{array}\right]$

Vamos aplicar operações elementares de linha para escalonar a matriz. Nosso objetivo é transformar a matriz aumentada em uma matriz triangular superior.

Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha temos: $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 2& 5& -4\\ 0& 3& -3& 15\end{array}\right]$

Subtraindo $\frac{3}{2}$ vezes a segunda linha da terceira linha temos: $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 2& 5& -4\\ 0& 0& -10.5& 21\end{array}\right]$

Agora temos a matriz escalonada. A partir dela, podemos resolver o sistema utilizando substituição reversa:

Resolver a terceira linha: −10.5𝑧 = 21  ⟹  𝑧 = −2

Substituir 𝑧na segunda linha: 2𝑦 + 5(−2) = −4  ⟹  2𝑦 − 10 = −4  ⟹  2𝑦 = 6  ⟹  𝑦 = 3

Portanto, a solução do sistema é: (𝑥,𝑦,𝑧) = (5,3,−2).

Regra de Cramer:

Método que resolve sistemas lineares de 𝑛 equações e 𝑛 incógnitas usando determinantes. Aplicável somente quando o determinante da matriz dos coeficientes é não nulo.

Exemplo: Resolver o sistema: $\{\begin{array}{c}x+2y=5\\ x-y=4\end{array}$

Primeiro, construímos a matriz dos coeficientes 𝐴 e o vetor de constantes 𝑏: $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)\text{, b}=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$

Calculamos o determinante de 𝐴: $\det (A)=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right|=[1(-1)]-(2*3)=-7$ 

Calculamos o determinante de 𝐴𝑥 substituindo a primeira coluna de 𝐴 pelo vetor 𝑏: $A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 4& -1\end{array}\right),$ $\det (A_x)=\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 4& -1\end{array}\right|=[5(-1)]-(2*4)=-13$

Calculamos o determinante de 𝐴y substituindo a primeira coluna de 𝐴 pelo vetor 𝑏:$A=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 3& 4\end{array}\right),$ $\det (A_x)=\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 3& 4\end{array}\right|=(1*4)-(5*3)=-11$

Agora podemos encontrar as soluções usando as fórmulas da Regra de Cramer: $x=\frac{\det (Ax)}{\det (A)}=\frac{-13}{-7}=\frac{13}{7}\text{ e y}=\frac{\det (Ay)}{\det (A)}=\frac{-11}{-7}=\frac{11}{7}$

Portanto, a solução do sistema é: $(x,y)=(\frac{13}{7},\frac{11}{7})$.

Referência:

1. https://sabermatematica.com.br/espacos-vetoriais.html
2. https://www.ufsm.br/matematica/legom/Subespa%C3%A7os_vetoriais.pdf
3. https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s6e7-bases_de_espax00e7os_vetoriais.html
4. https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/base_dimensao.html
5. https://www.todamateria.com.br/sistemas-lineares/
6. https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/sdsl-eliminacao_gaussiana.html
7. https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-cramer.htm