CCT-UFCA/Ciência da Computação/Álgebra Linear/Transformações Lineares

Definição e Propriedades das Transformações Lineares:

Uma transformação linear 𝑇:𝑉→𝑊 entre dois espaços vetoriais 𝑉 e 𝑊 é uma função que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Em outras palavras, para todos os vetores 𝑢,𝑣 ∈ 𝑉 e todos os escalares 𝑐 ∈ 𝑅, temos:

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)

𝑇(𝑐𝑢) = 𝑐𝑇(𝑢)

Exemplo: Considere a transformação linear 𝑇:𝑅2→𝑅 dada por 𝑇(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦. Verificamos que 𝑇 é linear porque:

𝑇((𝑎,𝑏) + (𝑐,𝑑)) = 𝑇(𝑎 + 𝑐,𝑏 + 𝑑) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 𝑇(𝑎,𝑏)

𝑇(𝑘(𝑎,𝑏)) = 𝑇(𝑘𝑎,𝑘𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 = 𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑇(𝑎,𝑏)

Matriz Associada a uma Transformação Linear

A matriz associada a uma transformação linear 𝑇:𝑅^𝑛→𝑅^𝑚 é uma matriz 𝐴 tal que 𝑇(𝑥) = 𝐴𝑥 para todos os vetores 𝑥 ∈ 𝑅^𝑛.

Exemplo: Considere a transformação linear 𝑇:𝑅3→𝑅2 dada por 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧) = (2𝑥 − 𝑦,𝑥 + 3𝑦 − 𝑧). A matriz associada 𝐴 é:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& -1\end{array}\right)$

Imagem e Núcleo de Transformações Lineares

Imagem: A imagem de uma transformação linear 𝑇:𝑉→𝑊 é o conjunto de todos os vetores 𝑇(𝑣) para 𝑣 ∈ 𝑉. A imagem é um subespaço de 𝑊.

Exemplo: Considere a transformação linear 𝑇:𝑅2→𝑅 dada por 𝑇(𝑥,𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦. A imagem de 𝑇 é o conjunto de todos os múltiplos de 3𝑥 + 2𝑦.

Núcleo: O núcleo de uma transformação linear 𝑇:𝑉→𝑊 é o conjunto de todos os vetores 𝑣 ∈ 𝑉 tais que 𝑇(𝑣) = 0. O núcleo é um subespaço de 𝑉.

Exemplo: Considere a transformação linear 𝑇:𝑅2→𝑅 dada por 𝑇(𝑥,𝑦) =3x + 2𝑦. O núcleo de 𝑇 é o conjunto de todos os vetores (𝑥,𝑦) tais que 3𝑥 + 2𝑦 = 0.

Referências

1. https://sabermatematica.com.br/transformacoes-lineares.html
2. https://docente.ifrn.edu.br/franciscomedeiros/disciplinas/algebra-linear/algebra-linear/algelin-matriz-de-uma-tl
3. https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/Arquivos%20PDF/exemplos_nucleo_imagem.pdf