CCT-UFCA/Ciência da Computação/Álgebra Vetorial e Geometria Analítica/Cônicas e Quádricas

Definição e Classificação de Cônicas

As cônicas são curvas geradas pela interseção de um cone com um plano. Dependendo da inclinação do plano em relação ao cone, as cônicas podem ser classificadas como:

Elipse:

Curva fechada onde a soma das distâncias de qualquer ponto da curva a dois focos fixos é constante.

Exemplo: A equação $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ representa uma elipse. Os focos estão em $(\pm \sqrt{7,0})$.

Parábola:

Curva em que a distância de qualquer ponto da curva a um foco fixo é igual à sua distância a uma diretriz fixa.

Exemplo: A equação  descreve uma parábola com vértice na origem, foco em 𝑦2 = 8𝑥, e diretriz 𝑥 = −2.

Hipérbole:

Curva aberta onde a diferença das distâncias de qualquer ponto da curva a dois focos fixos é constante.

Exemplo: A equação $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ descreve uma hipérbole com focos em $(\pm 5,0)$.

Definição e Classificação de Superfícies Quádricas

Superfícies quádricas são extensões tridimensionais das cônicas. Elas são definidas por equações de segundo grau nas variáveis e classificadas como:

Esfera:

Todos os pontos equidistantes de um ponto central.

Exemplo: A equação 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 25 descreve uma esfera com centro na origem e raio 𝑟 = 5.

Elipsoide:

Generalização da esfera com semieixos diferentes.

Exemplo: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}=1$ representa um elipsoide

Hiperboloide de uma folha:

• Hiperboloide de uma folha: É uma superfície contínua e aberta, semelhante a um "vórtice" ou "funil". As seções transversais feitas com planos paralelos a dois eixos principais formam elipses, enquanto com o terceiro eixo formam hipérboles.

Exemplo: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{16}=1$

• Hiperboloide de duas folhas: Esta superfície é composta por duas partes desconectadas, parecendo dois "copos" opostos. As seções transversais também formam hipérboles e elipses, mas é menos comum em aplicações práticas.

$-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}=1$

Paraboloides:

• Paraboloide Elíptico: É uma superfície tridimensional cuja interseção com planos paralelos a um dos eixos cartesianos forma elipses. Este tipo de paraboloide reflete luz ou ondas para um ponto focal, o que o torna útil em antenas parabólicas e telescópios.
  • Equação: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=z$
• Paraboloide Hiperbólico: É uma superfície tridimensional cuja interseção com planos paralelos a dois dos eixos cartesianos forma hipérboles, enquanto a interseção com planos paralelos ao terceiro eixo forma parábolas. É usado em design arquitetônico e engenharia estrutural, devido à sua capacidade de suportar grandes cargas com formas geométricas eficientes.
  • Equação: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=z$

Equações e Propriedades Geométricas

Elipse:

Possui dois focos; a soma das distâncias a esses focos é constante.

Parábola:

Reflete ondas ou luz para o foco; comumente usada em antenas parabólicas.

Hipérbole:

Possui duas assíntotas e é aplicada em modelos astronômicos.

Quádricas:

São simétricas e aparecem frequentemente em física, óptica e geometria projetiva.

Referências

1. https://www.todamateria.com.br/conicas/
2. https://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3176/material/Quadricas%20%28novo%29.pdf
3. https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/EABA-98VH9U/1/monografia_guilhermefreire.pdf