CCT-UFCA/Ciência da Computação/Álgebra Vetorial e Geometria Analítica/Retas e Planos

Equações de Retas e Planos no Espaço

Equações de Retas:

Equação Paramétrica: Uma reta no espaço pode ser definida por um ponto 𝑃₀(𝑥₀,𝑦₀,𝑧₀) e um vetor diretor 𝑑 = (𝑎,𝑏,𝑐). A equação paramétrica da reta é:

$\{\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$

Exemplo: Considere a reta que passa pelo ponto 𝑃0(1,2,3) e tem vetor diretor 𝑑 = (4,5,6). A equação paramétrica é:

$\{\begin{array}{c}x=1+4t\\ y=2+5t\\ z=3+6t\end{array}$

Equações de Planos:

Equação Cartesiana: Um plano no espaço pode ser definido por um ponto 𝑃₀(𝑥₀,𝑦₀,𝑧₀), e um vetor normal 𝑛 = (𝐴,𝐵,𝐶). A equação cartesiana do plano é: 𝐴(𝑥 − 𝑥₀) + 𝐵(𝑦 − 𝑦₀) + 𝐶(𝑧 − 𝑧₀) = 0.

Exemplo: Considere o plano que passa pelo ponto 
𝑃0(1,2,3) e tem vetor normal 𝑛 = (4,5,6). A equação cartesiana é:

4(𝑥−1) + (𝑦−2) + 6(𝑧−3) = 0  ⟹  4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 32

Interseção de Retas e Planos

interseção entre uma reta e um plano é o conjunto de pontos que pertencem à reta e ao plano simultaneamente. Para encontrar a interseção, substituímos as equações paramétricas da reta na equação do plano e resolvemos para o parâmetro 𝑡.

Exemplo: Considere a reta 𝑟(𝑡) = (1 + 4𝑡,2 + 5𝑡,3 + 6𝑡) e o plano 4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 32. Substituindo as equações paramétricas na equação do plano:

4(1 + 4𝑡) + 5(2 + 5𝑡) + 6(3 + 6𝑡) = 32  ⟹  4 + 16𝑡 + 10 + 25𝑡 + 18 + 36𝑡 = 32  ⟹  77𝑡 = 0  ⟹  𝑡 = 0

O ponto de interseção é (1,2,3).

Distâncias entre Pontos, Retas e Planos

Distância entre Dois Pontos:

A distância 𝑑 entre dois pontos 𝑃₁(𝑥₁,𝑦₁,𝑧₁) e 𝑃₂(𝑥₂,𝑦₂,𝑧₂) é dada por:

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

Exemplo: A distância entre os pontos 𝑃1(1,2,3) e 𝑃2(4,6,8) é:

$d=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2+(8-3{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

Distância entre um Ponto e um Plano:

A distância 𝑑 entre um ponto 𝑃(𝑥₀,𝑦₀,𝑧₀) e um plano 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 é dada por:

$d=\frac{\mid A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mid }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Exemplo: A distância entre o ponto 𝑃(1,2,3) e o plano 4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 32 é:

$d=\frac{\mid 4*1+5*2+6*3-32\mid }{\sqrt{4^2+5^2+6^2}}=\frac{0}{\sqrt{77}}=0$

Distância entre Retas Paralelas:

A distância 𝑑 entre duas retas paralelas 𝑟₁ e 𝑟₂ é a distância entre um ponto qualquer de uma das retas e a outra reta.

Exemplo: Considere as retas 𝑟1(𝑡) = (1 + 𝑡,2 + 𝑡,3 + 𝑡) e 𝑟2(𝑡) = (4 + 𝑡,5 + 𝑡,6 + 𝑡). A distância entre as retas é a distância entre os pontos (1,2,3) e (4,5,6), que é 52.

Referências

1. https://lemas.furg.br/images/Apostilas/Retas_Planos.pdf
2. https://www.docentes.univasf.edu.br/carlos.freitas/geometria_analitica/intersecao_reta_plano.php
3. https://matematicasimplificada.com/distancias-entre-pontos-retas-e-planos-geometria-analitica-no-espaco/