CCT-UFCA/Ciência da Computação/Cálculo Diferencial e Integral I/Derivada

Definição de derivada

Conceito de Derivada:

A derivada de uma função 𝑓(𝑥) em um ponto 𝑥 = 𝑎 é a taxa de variação instantânea de 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥 nesse ponto. A derivada é representada como 𝑓′(𝑥) ou $\frac{df}{dx}$.

A definição formal da derivada é: $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Exemplo: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Vamos encontrar a derivada dessa função.

Usando a definição formal: $f(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=$ $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=$ $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}=$ $\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=$ $2x.$

Portanto, a derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é 𝑓′(𝑥) = 2𝑥.

Aplicações básicas da derivada

Inclinação da Tangente:

A derivada de uma função em um ponto fornece a inclinação da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto.

Exemplo: Para 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑥 = 1: 𝑓′(1) = 2⋅1 = 2

Isso significa que a inclinação da tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) em 𝑥 = 1 é 2.

Velocidade Instantânea:

Na física, a derivada da posição 𝑠(𝑡) de um objeto em relação ao tempo 𝑡 é a velocidade instantânea 𝑣(𝑡).

Exemplo: Se a posição de um objeto é dada por 𝑠(𝑡) = 3𝑡2 + 2𝑡, a velocidade é:

$v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}(3t^2+2t)=6t+2$. 

Para t = 2: v(2) = 6⋅2 + 2 = 14

Portanto, a velocidade instantânea em 𝑡 = 2 é 14.

Aceleração:

A derivada da velocidade 𝑣(𝑡) em relação ao tempo 𝑡 é a aceleração 𝑎(𝑡).

Exemplo: Usando a velocidade 𝑣(𝑡) = 6𝑡 + 2  do exemplo anterior:

$a(t)=v^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}(6t+2)=6.$

Portanto, a aceleração é constante e igual a 6

Referências

1. https://www.todoestudo.com.br/matematica/derivadas
2. https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA111/Aula3.pdf
3. https://mathworld.wolfram.com/Acceleration.html