CCT-UFCA/Ciência da Computação/Cálculo Diferencial e Integral I/Limite e Continuidade

Conceito de limite:

Definição de Limite:

O limite de uma função 𝑓(𝑥) conforme 𝑥 se aproxima de um valor 𝑎 é o valor que 𝑓(𝑥) se aproxima à medida 𝑥 que se aproxima de 𝑎. É escrito como $\underset{x\to a}{\lim }$𝑓(𝑥) = L, onde L é o limite.

Formalmente, $\underset{x\to a}{\lim }$𝑓(𝑥) = L significa que para cada 𝜖 > 0, existe um 𝛿 > 0 tal que se 0 < ∣𝑥−𝑎∣ < 𝛿, então ∣𝑓(𝑥) − 𝐿∣ < 𝜖 .

Exemplo: Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 se aproxima de 3 é:

$\underset{x\to 3}{\lim }$(2𝑥 + 1) = 2(3) + 1 = 7  Isso significa que conforme 𝑥 se aproxima de 3, 𝑓(𝑥) se aproxima de 7

Limites Laterais:

Limite à direita: $\underset{x\to a^{+}}{\lim }$𝑓(𝑥) é o valor que 𝑓(𝑥) se aproxima quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 pela direita.

Limite à esquerda: $\underset{x\to a^{-}}{\lim }$𝑓(𝑥) é o valor que 𝑓(𝑥) se aproxima quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 pela esquerda.

Exemplo: Considere a função 𝑓(n) que é definida como:

$f(n)=\{\begin{array}{cc}2n+1,& \text{se }n<3\\ 7,& \text{se }n=3\\ 3n+2,& \text{se }n>3\end{array}$  Limite à esquerda de n = 3:

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }$𝑓(n) = 2(3) + 1 = 7  Limite à esquerda de n = 3:

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$𝑓(n) = 3(3) - 2 = 7

Testes e exemplos de continuidade

Definição de Continuidade:

Uma função 𝑓(𝑥) é contínua em um ponto 𝑥 = 𝑎 se os três seguintes critérios são satisfeitos:

• 𝑓(𝑎) está definida.
• $\underset{x\to a}{\lim }$𝑓(𝑥) existe.
• $\underset{x\to a}{\lim }$𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Exemplo: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Para 𝑥 = 2:

𝑓(2) = 22 = 4 (definida).

$\underset{x\to 2}{\lim }$𝑥2 = 4 (existe).

$\underset{x\to 2}{\lim }$𝑥2 = 𝑓(2) (igual).  Portanto, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é contínua em 𝑥 = 2.

Exemplos de Funções Contínuas e Descontínuas:

Contínua: Função polinomial, como 𝑓(n) = n²+ 2n + 1, é contínua em todos os n.

Descontínua: Função passo, como $f(n)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }n<0\\ 0,& \text{se }n\ge 3\end{array}$, é descontínua em n = 0 porque $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$𝑓(n) = 1 e $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$𝑓(n) = 0, e esses limites não são iguais.

Teorema do Valor Intermediário:

Se 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo [a, b] e 𝑁 é qualquer valor entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏), então existe pelo menos um 𝑐 em [a, b] tal que 𝑓(𝑐) = 𝑁

Exemplo: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Queremos provar que existe um valor 𝑐 no intervalo [1, 3] tal que 𝑓(𝑐) = 5.

Verificação dos valores de 𝑓 no intervalo:

Calcule os valores de 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏):

𝑓(1) = 12 =1

𝑓(3) = 32 = 9

Determine se 𝑁 = 5 está entre 𝑓(1) e 𝑓(3):

Sim, 5 está entre 1 e 9.

Aplicação do Teorema do Valor Intermediário:

Como 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo [1, 3] e 5 está entre 𝑓(1) e 𝑓(3), pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir um valor 𝑐 em [1, 3] tal que 𝑓(𝑐) = 5.

Encontrando o valor de 𝑐:

Para encontrar 𝑐, resolvemos a equação 𝑥2 = 5:

𝑥 = $\sqrt{5}$

$\sqrt{5}$ está aproximadamente entre 2.23 e 2.24, que está no intervalo [1, 3].  Portanto, existe pelo menos um valor 𝑐 = 5 no intervalo [1, 3] tal que 𝑓(𝑐) = 5.

Referências

1. https://www.todoestudo.com.br/matematica/limites
2. https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/OneSidedLimits.aspx
3. https://www.imlsn.ie/images/Documents/Pauls_Online_Notes_-_Continuity.pdf
4. https://sabermatematica.com.br/teorema-do-valor-intermediario.html