CCT-UFCA/Ciência da Computação/Cálculo Diferencial e Integral I/Números reais e funções
Introdução aos números reais
Definição e Conjunto dos Números Reais:
Os números reais são todos os números que podem ser representados em uma reta numérica, incluindo números racionais (frações) e irracionais (como √2 e π).
O conjunto dos números reais é simbolizado por ℝ. Ele abrange números inteiros, frações, decimais, e números irracionais.
Classificação dos Números Reais:
Números Naturais (ℕ): Números positivos sem fração ou decimal (1, 2, 3,...).
Números Inteiros (ℤ): Inclui todos os números naturais e seus opostos negativos (-2, -1, 0, 1, 2,...).
Números Racionais (ℚ): Números que podem ser expressos como fração de dois inteiros (1/2, 3/4,...).
Números Irracionais: Números que não podem ser expressos como frações, mas têm representação decimal infinita e não periódica (π, √2,...).
Números Reais (ℝ): Combinação de todos os anteriores.
Propriedades dos Números Reais:
Comutatividade: a + b = b + a
Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c
Distributividade: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
Definição e propriedades das funções:
Definição de Função:
Uma função é uma relação que associa a cada elemento de um conjunto A (domínio) exatamente um elemento de um conjunto B (imagem).
Notação: 𝑓: 𝐴→𝐵 onde 𝑓(𝑎) = 𝑏.
Domínio e Imagem:
Domínio: O conjunto de todos os valores de entrada (𝑥) que uma função pode receber.
Imagem: O conjunto de todos os valores de saída ((𝑓(𝑥)) que uma função pode produzir.
Exemplo: Para a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2:
Domínio: Todos os números reais (ℝ).
Imagem: Todos os números reais não-negativos [0, ∞).
Tipos de Funções:
Função Injetora (Injetiva): Cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único da imagem.
Exemplo: Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥.
Para 𝑥1 = 1 e 𝑥2 = 2: 𝑓(1) = 2⋅1 = 2 𝑓(2) = 2⋅2 = 4 Como 𝑓(1) ≠ 𝑓(2), a função é injetiva.
Cada valor de 𝑦 na imagem é mapeado por um único valor de no domínio.
Função Sobrejetora (Sobrejetiva): Cada elemento da imagem tem pelo menos um correspondente no domínio.
Exemplo: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3.
Para qualquer 𝑦 real, podemos encontrar um 𝑥 tal que 𝑥 = 𝑦3.
Por exemplo, se 𝑦 = 8, então 𝑥 = = 2. Se 𝑦 = −1, então 𝑥 = = −1.
Portanto, todos os 𝑦 em ℝ têm um correspondente em ℝ, tornando a função sobrejetiva.
Função Bijetora (Bijetiva): É injetora e sobrejetiva.
Exemplo: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 com domínio e imagem em ℝ.
Injetora: Se 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), então 𝑎 +1 = 𝑏 + 1 implica que 𝑎 = 𝑏.
Sobrejetiva: Para qualquer 𝑦 em ℝ, podemos encontrar 𝑥 tal que 𝑥 = 𝑦 − 1.
Portanto, a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 é bijetiva.
Propriedades das Funções:
Linearidade: Uma função 𝑓 é linear se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Paridade: Uma função é par se 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) e ímpar se 𝑓(−𝑥) = − 𝑓(𝑥)
Exemplo: A função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 é ímpar porque 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 = −𝑥3 = − 𝑓(𝑥)