CCT-UFCA/Ciência da Computação/Cálculo Diferencial e Integral I/Regras de Derivação

Regra do Produto

A regra do produto é usada para derivar o produto de duas funções. Se temos duas funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), a derivada do produto delas é dada por:

(𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥))′ = 𝑓′(𝑥)⋅𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)⋅𝑔′(𝑥)

A derivada do produto não é simplesmente o produto das derivadas de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), mas sim a soma de dois termos: o primeiro considera a derivada de 𝑓(𝑥) enquanto 𝑔(𝑥) é mantida fixa, e o segundo faz o contrário.

Exemplo: Suponha 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = sin⁡(𝑥).

(𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥))′ = (𝑥2)′⋅sin(𝑥) + 𝑥2⋅(sin⁡(𝑥))′ = 2𝑥⋅sin⁡(𝑥) + 𝑥2⋅cos⁡(𝑥)

Regra do Quociente

A regra do quociente é usada para derivar o quociente entre duas funções. Se temos 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), a derivada de $\frac{f(x)}{g(x)}$ é dada por:

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\text{'}}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\text{'}}(x)}{(g(x){)}^2}$

Exemplo: Suponha 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥.

$\left(\frac{x2}{e^x}\right)=\frac{(x^2{)}^{\prime }\cdot e^x-x^2\cdot (e^x{)}^{\prime }}{(e^x{)}^2}=\frac{2x\cdot e^x-x^2\cdot ex}{e^{2x}}=\frac{e^x(2x-x2)}{e^{2x}}=\frac{2x-x2}{e^x}$

Regra da Cadeia

A regra da cadeia é usada quando uma função é composta por outra, ou seja, quando temos ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). A derivada é dada por:

ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))⋅𝑔′(𝑥)

Primeiro, derivamos a função externa 𝑓 e avaliamos em 𝑔(𝑥), depois multiplicamos pela derivada da função interna 𝑔(𝑥).

Exemplo: Suponha ℎ(𝑥) = sin⁡(𝑥2), onde 𝑓(𝑢) = sin⁡(𝑢) e 𝑔(𝑥) = 𝑥2.

ℎ′(𝑥) = cos⁡(𝑥2)⋅(𝑥2) = cos⁡(𝑥2)⋅2𝑥

Referências

1. https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/regras-derivacao.htm
2. https://www.rapidtables.org/pt/math/calculus/derivative.html
3. https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/regras-derivacao.htm