CCT-UFCA/Ciência da Computação/Cálculo Diferencial e Integral II/Aplicações da Integral

Cálculo de áreas e volumes

Cálculo de Áreas:

A integral definida pode ser usada para calcular a área sob uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) entre dois pontos 𝑎 e 𝑏:

$A=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Exemplo: Calcular a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥2 entre 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1:

$A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$

Portanto, a área é $\frac{1}{3}$.

Cálculo de Volumes:

A integral pode ser usada para calcular o volume de sólidos de revolução, usando o método dos discos ou dos anéis.

Método dos Discos: Para uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) rotacionada em torno do eixo 𝑥:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x){]}^{2}dx$

Exemplo: Calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da parábola 𝑦 = 𝑥2 em torno do eixo 𝑥 de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 1:

$V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}(x2)2dx=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}\right]}_0^1=\pi \cdot \frac{1}{5}=\frac{\pi }{5}$

Portanto, o volume é $\frac{\pi }{5}$ unidades cúbicas.

Momento e centroide

Momento:

O momento de uma área plana em relação ao eixo 𝑥 ou 𝑦 é uma medida da distribuição da área em torno desse eixo.

Momento em relação ao eixo 𝑦: $M_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}xf(x)dx$

Momento em relação ao eixo 𝑥: $M_x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{2}[f(x){]}^{2}dx$

Exemplo: Calcular o momento em relação ao eixo 𝑦 para a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 2:

$M_y=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x*xdx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{2^3}{3}-0=\frac{8}{3}$

Centroide:

O centroide de uma área plana é o ponto em que a área poderia ser equilibrada se fosse um objeto físico.

Coordenadas do centroide $(\overline{x},\overline{y})$:

$\overline{x}=\frac{1}{A}\underset{a}{\overset{b}{\int }}xf(x)dx$ $\overline{y}=\frac{1}{A}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{2}[f(x){]}^{2}dx$

Exemplo: Encontrar o centroide da região sob 𝑓(𝑥) = 𝑥 de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 2:

$A=\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^2=2$    $\overline{x}=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{1}{2}*\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$    $\overline{y}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{1}{4}*\frac{8}{3}=\frac{2}{3}$

Portanto o centroide é $(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$

Aplicações físicas e geométricas

Cálculo do Trabalho:

O trabalho realizado por uma força constante 𝐹 ao mover um objeto por uma distância 𝑑 é dado por 𝑊 = 𝐹⋅𝑑.

Para uma força variável, o trabalho é calculado por: $W=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x)dx$

Exemplo: Calcular o trabalho realizado por uma força 𝐹(𝑥) = 3𝑥 ao mover um objeto de 𝑥 = 1 a 𝑥 = 4:

$W=\underset{1}{\overset{4}{\int }}3xdx=3\underset{1}{\overset{4}{\int }}xdx=3{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_1^4=3(\frac{16}{2}-\frac{1}{2})=3*\frac{15}{2}=\frac{45}{2}$

Portanto, o trabalho realizado é $\frac{45}{2}$.

Cálculo de Comprimento de Arco:

O comprimento de arco de uma curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) de 𝑥 = 𝑎 a 𝑥 = 𝑏 é dado por:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$

Exemplo: Calcular o comprimento de arco da curva 𝑦 = 1/3𝑥3 de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 1:

$\frac{dy}{dx}=x^2$

$L=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+(x2)2}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+x^4}dx$

Para resolvermos essa integral numericamente, podemos usar métodos como a Regra do Trapézio ou a Regra de Simpson.

Por Regra de Simpson: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+x^4}dx\approx \frac{1-0}{6}(1+4*\frac{\sqrt{17}}{4}+\sqrt{2})$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+x^4}dx\approx \frac{1}{6}(1+4.123+1.414)\approx 1.0895$

Portanto, a integral $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+x^4}dx$ é é aproximadamente 1.0895 usando a Regra de Simpson.

Referências

1. https://archive.org/details/james-stewart-calculo-setima-edicao-volume-1
2. https://www.amazon.com.br/Calculus-geometria-anal%C3%ADtica-George-Brinton/dp/0201075407
3. https://archive.org/details/guidorizzih.l.umcursodecalculovol22013