CCT-UFCA/Ciência da Computação/Cálculo Diferencial e Integral II/Método das Frações Parciais

Introdução ao método

Conceito do Método das Frações Parciais

O método das frações parciais é uma técnica usada para decompor uma fração racional em uma soma de frações mais simples, chamadas de frações parciais. Isso facilita a integração de funções racionais.

Uma função racional é uma razão de dois polinômios, $\frac{P(x)}{Q(x)}$

Exemplo: Considere a fração racional $\frac{2x+3}{(x-1)(x-2)}$. Podemos decompor essa fração em:

Passo 1: Escrever a fração original como uma soma de frações parciais.

Passo 2: Determinar as constantes (A, B, etc.) resolvendo um sistema de equações resultante da equivalência dos numeradores.

$\frac{2x+3}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}$

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) temos: 2𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 1)

Resolvendo o sistema de equações para 𝐴 e 𝐵: $\{\begin{array}{c}A+B=2\\ 2A-B=3\end{array}$

Resolvendo o sistema, encontramos 𝐴 = 1 e 𝐵 = 1. Assim, $\frac{2x+3}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-2)}$

Resolução de integrais usando frações parciais

Integração de Frações Parciais:

Após decompor a fração racional em frações parciais, integramos cada fração individualmente.

A integral de uma fração parcial simples $\frac{A}{(x-a)}$ é: $\int \frac{A}{(x-a)}dx=Aln|x-a|+c$

Exemplo: Vamos integrar $\frac{2x+3}{(x-1)(x-2)}$.

Primeiro, decompondo a fração: $\frac{2x+3}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-2)}$

Agora, integramos cada fração separadamente:$\int \frac{1}{(x-1)}dx+\int \frac{1}{(x+2)}dx=ln|x-1|+ln|x+2|+c$

Portanto, a integral de $\frac{2x+3}{(x-1)(x-2)}$ é: $\int \frac{2x+3}{(x-1)(x-2)}dx=ln|x-1|+ln|x+2|+c$

Referências

1. https://www.studocu.com/pt-br/document/universidade-cidade-de-sao-paulo/matematica/livro-mat-metodo-das-fracoes-parciais/62710824
2. https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/apdleatdd-mx00e9todo_das_frax00e7x00f5es_parciais_para_calcular_transformadasinversas.html