DC-UFRPE/Licenciatura Plena em Computação/Cálculo NI/Teorema do confronto

A mensagem do Teorema do Confronto é que, se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas, daí este teorema é também chamado de Teorema do Sanduíche.

O teorema do confronto é utilizado em cálculo e análise matemática. É tipicamente utilizado para confirmar o limite de uma função através da comparação com duas outras funções cujos limites são conhecidos ou facilmente computados.

Exemplo

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\frac{2-cos(x)}{x+3}$

Primeiro note que

$-1\le \cos x\le +1$

devido às propriedades bem conhecidas da função cosseno. Agora multiplique por -1, invertendo as desigualdades e obtendo

$+1\ge -\cos x\ge -1$

ou

$-1\le -\cos x\le +1$.

Em seguida, adicione 2 a cada componente para obter

$1\le 2-\cos x\le 3$ .

Como estamos calculando o limite à medida que x tende ao infinito, é razoável supor que

$x+3>0$

.

Assim,

$\frac{1}{x+3}\le \frac{2-\cos x}{x+3}\le \frac{3}{x+3}$ .

Desde

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x+3}=0=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{x+3}$,

Segue-se do princípio do teorema que

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2-\cos x}{x+3}=0$ .