Introdução aos Circuitos Elétricos/Representação dos Números Complexos

Representação dos Números Complexos

Os números complexos podem ser definidos de diversas formas representando as mais diversas grandezas físicas e entidades matemáticas.

Os números complexos foram criados, a princípio, para facilitar os cálculos de equações que possuíam raízes quadradas de números negativos. Verificou-se que poderiam ser representados de outras formas (matricialmente, como um ponto num plano cartesiano, como um vetor etc.) e assim, realizar diversas operações nas mais variadas aplicações. Mas, para melhor entendermos o que isto significa, vamos descrever as três formas mais usuais, nesta disciplina, de representação: a algébrica (ou cartesiana), a polar e a trigonométrica. Cada uma delas apresenta peculiaridades que facilitarão determinados cálculos e associações em circuitos de corrente alternada.

Forma Cartesiana ou Forma Algébrica

Como descrita no capítulo anterior, é aquela que se utiliza da unidade imaginária $j$ e pode ser escrita como:

$z=a+j\cdot b$

Esta forma, pode ser associada/representada por um ponto $z(a,b)$ num plano cartesiano:

Onde $Im$ é o Predefinição:Grifar e $R$ é o Predefinição:Grifar.

É a forma cartesiana (ou algébrica) que utilizaremos para fazer Predefinição:Grifar de números complexos.

Exemplos de representação num plano cartesiano

Exemplo 1

$z_1=12-j\cdot 6$

Exemplo 2

$z_2=7$

Exemplo 3

$z_3=j\cdot 6,5$

Forma Polar

É a representação formada, num plano cartesiano, pelo comprimento $Z$ do segmento de reta da origem dos eixos até o ponto $z(a,b)$, e pelo ângulo $\mathrm{\Phi }$ entre este segmento de reta e o eixo das abscissas (eixo parte real do número complexo).

Observações:

• $\mathrm{\Phi }$ Predefinição:Grifar; caso contrário, $\mathrm{\Phi }$ será negativo se medido no sentido horário.
• $Z$ é o módulo do segmento de reta $\overline{Oz}$, ou seja, a distância entre a origem dos eixos $O(0,0)$ e o ponto $z(a,b)$.

Utilizaremos a seguinte notação para a forma polar de um número complexo: $\begin{array}{c}Z\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }\end{array}$

Esta é a forma que utilizaremos para fazer Predefinição:Grifar de números complexos.

Exemplos de representação num plano cartesiano

Exemplo 1

$\begin{array}{c}10\end{array}\begin{array}{c}45^o\end{array}$

Exemplo 2

$\begin{array}{c}12\end{array}\begin{array}{c}\pi \end{array}$

Exemplo 3

$\begin{array}{c}8\end{array}\begin{array}{c}-45^o\end{array}$

Forma Trigonométrica

Podemos observar um triângulo retângulo na figura abaixo:

Temos que:

$\sin \mathrm{\Phi }=\frac{b}{Z}\Rightarrow b=Z\cdot \sin \mathrm{\Phi }$

$\cos \mathrm{\Phi }=\frac{a}{Z}\Rightarrow a=Z\cdot \cos \mathrm{\Phi }$

A forma trigonométrica é representada pela expressão $z=Z\cdot (\cos \mathrm{\Phi }+j\cdot \sin \mathrm{\Phi })$ que, através da substituição dos coeficientes $a$ e $b$, Predefinição:Grifar. Pois, temos:

$\{\begin{array}{c}a=Z\cdot \cos \mathrm{\Phi }\\ b=Z\cdot \sin \mathrm{\Phi }\\ z=a+j\cdot b\end{array}\Rightarrow z=Z\cdot \cos \mathrm{\Phi }+j\cdot Z\cdot \sin \mathrm{\Phi }\Rightarrow z=Z\cdot (\cos \mathrm{\Phi }+j\cdot \sin \mathrm{\Phi })$

Lista A de Exercícios

Exercício 1

Represente os seguintes números no plano cartesiano:

a) $z_1=-12+j\cdot 6$

b) $z_2=-j\cdot 4$

c) $z_3=-14-j\cdot 6$

d) $z_4=10$

e) $z_5=\begin{array}{c}5\end{array}\begin{array}{c}30^o\end{array}$

f) $z_6=\begin{array}{c}0\end{array}\begin{array}{c}45^o\end{array}$

g) $z_7=\begin{array}{c}8\end{array}\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array}$

h) $z_8=\begin{array}{c}7\end{array}\begin{array}{c}-45^o\end{array}$

i) $z_9=\begin{array}{c}7\end{array}\begin{array}{c}-\pi \end{array}$