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As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções com o eixo x, das abcissas (raízes) de uma função polinomial do segundo grau. *(No caso da figura, as raízes da função são* x = -1 e x=2).

Equação quadrática (também conhecida como equação do segundo grau) é um tipo de equação polinomial matemática. É necessário para que a equação seja considerada quadrática, que seja de segundo grau e siga a forma geral:

a x^{2} + b x + c = 0

, onde a, b e c são os coeficientes do polinômio e pertencem a um conjunto-universo previamente adotado, com a restrição de que a seja sempre diferente de zero (caso contrário, a equação torna-se linear. A quantidade x, figurante no trinômio, que exprime a equação quadrática, é o valor a ser determinado, caso exista no conjunto-universo adotado. Por essa razão é chamada de incógnita.

A mais simples e principal maneira de se resolver uma equação quadrática é usando-se a chamada Fórmula de Bhaskara, desenvolvida pelo matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria, a qual se exprime a ideia de que:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

, sendo a, b e c os mesmos coeficientes da equação de segundo grau. A partir desta fórmula, há três possibilidades da resolução da equação. Se b² - 4ac, comumente abreviado como Δ, for positivo, a equação tem duas raízes reais e distintas; se Δ for igual a zero, a equação passa a ter apenas uma raiz real; se Δ for negativo, a equação tem duas raízes complexas e distintas.

Introdução

A equação quadrática é, antes de tudo, um polinômio e que pertence ao 2º grau, isto é, tem como termo de maior grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definição "a diferente de zero" é o que caracteriza a equação de segundo grau, visto que, a incógnita x é diretamente multiplicada pelo coeficiente a, levando-nos a crer que se a fosse igual a zero, anularia-se o x² e assim, a equação passaria a ser linear, de primeiro grau.

No século XII, o matemático Bhaskara Akaria se dispôs a resolver esta equação e publicar ao mundo suas descobertas. O maior problema dos matemáticos que tentavam achar valores para equação era o fato de haver um x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. Sabiamente, Bhaskara aplicou principios básicos, porém inteligentes, para finalmente achar um valor definitivo de x. A partir da descoberta de sua fórmula, diversas outras fórmullas se dervivaram, como as fórmulas de Soma e Produto, Relações entre as Raízes ou os valores dos Vértices de uma função quadrática.

Paralela à evoulção dos estudos matemáticos da equação de segundo grau, cresceu também sua representação gráfica a chamada função quadrática. Nela, foi possível nítidamente, observar que há sempre um cume, valor máximo que a incógnita pode ter (chamada de Vértice), assim como a direção para a qual os valores crescem, etc. O conhecimento já guardado das funções, quando aplicados na equação quadrática, facilitaram demasiadamente os estudos de matemáticos ao longo da história.

Fórmula de Bhaskara

A Fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática, isto é, os valores que x pode assumir. A fórmula guarda este nome por ter sido divulgada pelo matemático e astronômo indiano Bhaskara Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta, porém, é atribuída aos babilônios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi. Por muitos tempos, muitos estudiosos tentaram achar uma solução para x dentro desta equação, visto ter sido complicado, já que havia um termo ao quadrado e o mesmo de primeiro grau, na mesma equação. Assim, a fórmula de Bhaskara utiliza um método inteligente, unido pura e simplesmente, uma fatoração de um polinômio para conseguir pôr apenas uma incógnita x no caso e assim, achar um valor definitivo:

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \Leftrightarrow \\ (4 a) (a x^{2} + b x + c) = (4 a) \cdot 0 \Leftrightarrow \\ 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0 \Leftrightarrow \\ (2 a x)^{2} + 2 (2 a x) b = - 4 a c \Leftrightarrow \\ (2 a x)^{2} + 2 (2 a x) b + b^{2} = - 4 a c + b^{2} \Leftrightarrow \\ (2 a x + b)^{2} = b^{2} - 4 a c \Leftrightarrow \\ \| 2 a x + b \| = \sqrt{b^{2} - 4 a c} \end{matrix}$

Logo, tem-se, por definição de módulo, que:

Se $(2 a x + b) \geq 0$

$\begin{matrix} 2 a x + b = \sqrt{b^{2} - 4 a c} \Leftrightarrow \\ 2 a x = \sqrt{b^{2} - 4 a c} - b \Leftrightarrow \\ x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$

Se $(2 a x + b) < 0$

$\begin{matrix} - (2 a x + b) = \sqrt{b^{2} - 4 a c} \Leftrightarrow \\ 2 a x + b = - \sqrt{b^{2} - 4 a c} \Leftrightarrow \\ 2 a x = - \sqrt{b^{2} - 4 a c} - b \Leftrightarrow \\ x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$

Portanto,

$x = {\begin{matrix} \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \to r_{1} \\ \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \to r_{2} \end{matrix} \Rightarrow x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Propriedades matemáticas

A partir da Fórmula de Bhaskara, desmembram-se diversas outras fórmulas. Delas, chega-se a certas conclusões que já visam previamente determinados fatores, como, por exemplo, o conjunto ao qual pertencerá as raízes, o número de raízes que cabem à x ou também a soma e a diferença das raízes da equação.

Delta

Dentro da Fórmula de Bhaskara, com o intuito de diminuir a equação e assim, facilitar estudos de matemáticos, comumente, chama-se o polinômio b² - 4ac da letra grega delta ( Δ ) ou também discriminante. A partir daí, tem-se:

Δ = b^{2} - 4 a c

Dessa forma, a Fórmula de Bhaskara pode ser escrita, resumidamente, da forma:

x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

Se Δ>0 , a equação terá duas raízes reais distintas.
- Isto ocorre porque a fórmula de Bhaskara resolver-se-ia naturalmente, sem modificações e, sendo delta maior que zero, o valor de dentro de uma raiz será positivo, tornando-se, ineviltavelmente, um número real.
Se Δ=0 , a equação terá uma raíz dupla.
- Isto ocorre porque zero é um número que não é positivo e nem negativo. Ele também, em somas e subtrações não altera o valor. Logo, pode-se dizer que a equação apenas teria uma raíz, representada por (- b)/(2a)
Se Δ<0, a equação terá duas raízes complexas disintas.
- Verifica-se que, se delta for negativo, isto é, com valor inferior a zero, já que ele seria submetido à uma raiz quadrada, o universo que estuda a raiz quadrada dos números negativos é o dos complexos, tendo assim a equação, duas raizes complexas distintas.

Soma e Produto

A partir da Fórmula de Bhaskara acha-se a o resultado da soma S das duas raízes da equação e também sem produto P. Acha-se a soma realizando a real soma das duas raízes encontradas por Bhaskara:

$x = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} \Leftrightarrow \frac{- b - b - \sqrt{Δ} + \sqrt{Δ}}{2 a} \Leftrightarrow \frac{- 2 b}{2 a} \Leftrightarrow \frac{- b}{a}$ F´[ Acha-se o produto pelo mesmo processo:

$x = (\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}) \Leftrightarrow \frac{(- b + \sqrt{Δ}) (- b - \sqrt{Δ})}{4 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{4 a c}{4 a^{2}} \Leftrightarrow \frac{c}{a}$

Assim, sendo $r_{1}$ e $r_{2}$ as raizes da equação quadrática:

$r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a} = S$

e

$r_{1} . r_{2} = \frac{c}{a} = P$

Deste jeito, munido dessas propriedades, pode-se avaliar as raízes em muitos casos, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

Forma Fatorada da Equação Quadrática

Utilizando a forma de soma e produto da equação quadrática, é possivel chegar à forma fatorada da equação. Tendo em conta que:

$S = r_{1} + r_{2}$

e

$P = r_{1} \times r_{2}$

Pode-se afirmar que:

$a (x^{2} - S x + P) = 0 \Leftrightarrow a [x^{2} - (r_{1} + r_{2}) x + (r_{1} \times r_{2})] = 0 \Leftrightarrow a [(x - r_{1}) (x - r_{2})] = 0$

Logo,

$a x^{2} + b x + c = 0 \Leftrightarrow a (x - r_{1}) (x - r_{2}) = 0$

Esta é a forma fatorada da Equação quadrática.

Outras Relações entre as Raízes

Soma do Inverso das Raízes

$\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} = \frac{r_{1} + r_{2}}{r_{1} . r_{2}} = \frac{S}{P}$

Soma dos Quadrados das Raízes

$r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = r_{1}^{2} + 2 r_{1} . r_{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} . r_{2} = (r_{1} + r_{2})^{2} - 2 r_{1} . r_{2} = S^{2} - 2 r_{1} . r_{2} = S^{2} - 2 P$

Soma dos Quadrados dos Inversos das Raízes

$\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} = \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{r_{1}^{2} . r_{2}^{2}} = \frac{S^{2} - 2 P}{P^{2}}$

Soma dos Cubos das Raízes

$r_{1}^{3} + r_{2}^{3} = r_{1}^{3} + 3 r_{1}^{2} . r_{2} + 3 r_{1} . r_{2}^{2} + r_{2}^{3} - 3 r_{1}^{2} . r_{2} - 3 r_{1} . r_{2}^{2} = (r_{1} + r_{2})^{3} - 3 (r_{1} + r_{2}) (r_{1} . r_{2}) = S^{3} - 3 S . P$

Média Aritmética das Raízes

$\frac{r_{1} + r_{2}}{2} = \frac{S}{2}$

Média Geométrica das Raízes

$\sqrt{r_{1} . r_{2}} = \sqrt{P}$

Média Harmônica das Raízes

$\frac{1}{\frac{\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}}}{2}} = \frac{2}{\frac{r_{1} + r_{2}}{r_{1} . r_{2}}} = \frac{2 r_{1} . r_{2}}{r_{1} + r_{2}} = \frac{2 P}{S}$

Domínio e imagem da função

O gráfico da função $f (x) = a x^{2} + b x + c$ será sempre uma parábola com vértice em:

$V = (\frac{- b}{2 a}, \frac{- Δ}{4 a})$

Resolução das equações incompletas

c=0

É uma equação no formato $a x^{2} + b x = 0$ . A solução é feita da seguinte forma: $a x^{2} + b x = 0 \Leftrightarrow x (a x + b) = 0$ . Portanto, $x = 0$ ou $a x + b = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{a}$ . Nesse caso, uma das raízes será sempre zero e a outra será real (se os coeficientes o forem).

b=0

É uma equação no formato $a x^{2} + c = 0$ . A resolução é feita deste modo: $a x^{2} + c = 0 \Leftrightarrow a x^{2} = - c \Leftrightarrow x^{2} = - \frac{c}{a} \Leftrightarrow x = \sqrt{- \frac{c}{a}}$ . Por isso, $\frac{c}{a} < 0$ , ou a equação não terá raízes reais. No caso delas serem reais, as raízes serão simétricas.

Estudo do gráfico

Bibliografia

MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8

Portal:Formação Intermediária/Matemática/Equações do segundo grau

Índice

Introdução

Fórmula de Bhaskara

Propriedades matemáticas

Delta

Soma e Produto

Forma Fatorada da Equação Quadrática

Outras Relações entre as Raízes

Soma do Inverso das Raízes

Soma dos Quadrados das Raízes

Soma dos Quadrados dos Inversos das Raízes

Soma dos Cubos das Raízes

Média Aritmética das Raízes

Média Geométrica das Raízes

Média Harmônica das Raízes

Domínio e imagem da função

Resolução das equações incompletas

c=0

b=0

Estudo do gráfico

Bibliografia

Menu de navegação

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Introdução

Fórmula de Bhaskara

Propriedades matemáticas

Delta

Soma e Produto

Forma Fatorada da Equação Quadrática

Outras Relações entre as Raízes

Soma do Inverso das Raízes

Soma dos Quadrados das Raízes

Soma dos Quadrados dos Inversos das Raízes

Soma dos Cubos das Raízes

Média Aritmética das Raízes

Média Geométrica das Raízes

Média Harmônica das Raízes

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Resolução das equações incompletas

c=0

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